Duas bolas de massa e uma de massa , todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa . Inicialmente, a velocidade angular do sistema é , quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Qual a variação de energia cinética do sistema após duas voltas completas?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema com quatro bolas: duas de massa , uma de massa e uma central de massa . Essas bolas estão conectadas por hastes finas e leves e giram em torno de um eixo que passa pelo centro da bola de . A velocidade angular inicial é , e o sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a variação da energia cinética desse sistema depois de duas voltas completas. Vamos precisar usar conceitos de Energia Cinética Rotacional e o fato de que a aceleração angular é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a energia cinética rotacional de um sistema. A energia cinética rotacional ( ) é dada por:
Onde:
  • é o momento de inércia do sistema,
  • é a velocidade angular.
O momento de inércia ( ) depende de como as massas estão distribuídas em relação ao eixo de rotação. Para cada massa pontual, o momento de inércia é , onde é a massa e é a distância até o eixo.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia total do sistema. Supondo que todas as hastes têm o mesmo comprimento , cada bola está a uma distância do centro. Então:
  • Duas bolas com massa : Cada uma contribui com , então juntas elas somam .
  • Uma bola com massa : Contribui com .
  • A bola central de massa : Como está no eixo de rotação, sua contribuição é zero ( ).
Somando tudo:

Passo 4

Agora, a energia cinética inicial do sistema quando está girando com velocidade angular é:

Passo 5

O sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante . Queremos saber a variação da energia cinética após duas voltas completas. Primeiro, vamos descobrir quanto tempo leva para fazer duas voltas.
Uma volta completa corresponde a um ângulo radianos. Então, duas voltas são radianos.
Usando a equação do movimento angular com aceleração constante:
Aqui, substituímos a aceleração angular por porque é uma desaceleração.
Então:
Resolvendo essa equação para , podemos encontrar o tempo que leva para completar as duas voltas.

Passo 6

Vamos rearranjar a equação:
Essa é uma equação quadrática na forma , onde:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo:
Considerando apenas a solução positiva, temos o tempo necessário para completar as duas voltas.

Passo 7

Agora, vamos determinar a velocidade angular final após o tempo . Usando a equação:
Substituímos o valor de encontrado anteriormente:

Passo 8

Agora que temos a velocidade angular final, podemos calcular a energia cinética final:

Passo 9

A variação da energia cinética é a diferença entre a energia final e a inicial:

Resposta

A variação da energia cinética do sistema após duas voltas completas é .

Exercícios relacionados

Propriedades gerais dos vetores - Exercício p. 64.
Dado dois vetores e , determine (a) (módulo do vetor ), (b) (módulo do vetor ), © e (d) .
(Resposta: (a) , (b) , © , (d) .)
Duas bolas de massa e uma de massa , todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa . Inicialmente, a velocidade angular do sistema é , quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Calcule a energia cinética inicial do sistema.
(a) Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de , em relação a um eixo perpendicular à régua que a atravessa na marca 20 cm (trate a régua como uma barra fina). (b) Se a régua gira com velocidade angular em torno deste eixo, calcule sua energia cinética total.
Calcule a magnitude da força horizontal inicial que é preciso aplicar, em direção ao eixo , para conseguir que um tambor cilíndrico, de massa e raio , comece a subir um degrau de altura (vide fig. 10 ).