Duas bolas de massa
e uma de massa
, todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa
por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa
. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é
, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Qual a variação de energia cinética do sistema após duas voltas completas?
Qual a variação de energia cinética do sistema após duas voltas completas?
Passo 1
Beleza, então a gente tem um sistema com quatro bolas: duas de massa
, uma de massa
e uma central de massa
. Essas bolas estão conectadas por hastes finas e leves e giram em torno de um eixo que passa pelo centro da bola de
. A velocidade angular inicial é
, e o sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a variação da energia cinética desse sistema depois de duas voltas completas. Vamos precisar usar conceitos de Energia Cinética Rotacional e o fato de que a aceleração angular é constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a energia cinética rotacional de um sistema. A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia do sistema, -
é a velocidade angular.
O momento de inércia (
) depende de como as massas estão distribuídas em relação ao eixo de rotação. Para cada massa pontual, o momento de inércia é
, onde
é a massa e
é a distância até o eixo.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia total do sistema. Supondo que todas as hastes têm o mesmo comprimento
, cada bola está a uma distância
do centro. Então:
- Duas bolas com massa
: Cada uma contribui com , então juntas elas somam . - Uma bola com massa
: Contribui com . - A bola central de massa
: Como está no eixo de rotação, sua contribuição é zero ( ).
Somando tudo:
Passo 4
Agora, a energia cinética inicial do sistema quando está girando com velocidade angular
é:
Passo 5
O sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante
. Queremos saber a variação da energia cinética após duas voltas completas. Primeiro, vamos descobrir quanto tempo leva para fazer duas voltas.
Uma volta completa corresponde a um ângulo
radianos. Então, duas voltas são
radianos.
Usando a equação do movimento angular com aceleração constante:
Aqui, substituímos a aceleração angular por
porque é uma desaceleração.
Então:
Resolvendo essa equação para
, podemos encontrar o tempo que leva para completar as duas voltas.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação:
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo:
Considerando apenas a solução positiva, temos o tempo
necessário para completar as duas voltas.
Passo 7
Agora, vamos determinar a velocidade angular final após o tempo
. Usando a equação:
Substituímos o valor de
encontrado anteriormente:
Passo 8
Agora que temos a velocidade angular final, podemos calcular a energia cinética final:
Passo 9
A variação da energia cinética é a diferença entre a energia final e a inicial:
Resposta
A variação da energia cinética do sistema após duas voltas completas é
.
Exercícios relacionados
Propriedades gerais dos vetores - Exercício p. 64.
Dado dois vetores e
, determine (a)
(módulo do vetor
), (b)
(módulo do vetor
), ©
e (d)
.
(Resposta: (a) , (b)
, ©
, (d)
.)
Dado dois vetores
(Resposta: (a)
Duas bolas de massa
e uma de massa
, todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa
por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa
. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é
, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Calcule a energia cinética inicial do sistema.
Calcule a energia cinética inicial do sistema.
(a) Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de
, em relação a um eixo perpendicular à régua que a atravessa na marca 20 cm (trate a régua como uma barra fina). (b) Se a régua gira com velocidade angular
em torno deste eixo, calcule sua energia cinética total.
Calcule a magnitude da força
horizontal inicial que é preciso aplicar, em direção ao eixo
, para conseguir que um tambor cilíndrico, de massa
e raio
, comece a subir um degrau de altura
(vide fig. 10 ).