Duas bolas de massa M e uma de massa M / 2, todas de tarnanho desprezrvel, estão presas a uma quarta bola com massa 2 M por hastes finas e muito leves, conforme a figura abaixo. O sistema gira em torno de um eixo perpendicular à figura e que passa pelo centro da bola de massa 2 M. Inicialmente, a velocidade angular do sistema é omega, quando o sistema começa a ser desacelerado com uma aceleraçāo angular constante a.
Qual a variação de energia cinética do sistema após duas voltas completas?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema com quatro bolas: duas de massa M, uma de massa M/2 e uma central de massa 2M. Essas bolas estão conectadas por hastes finas e leves e giram em torno de um eixo que passa pelo centro da bola de 2M. A velocidade angular inicial é omega, e o sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante alpha. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a variação da energia cinética desse sistema depois de duas voltas completas. Vamos precisar usar conceitos de Energia Cinética Rotacional e o fato de que a aceleração angular é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a energia cinética rotacional de um sistema. A energia cinética rotacional ( Ek) é dada por:
Ek = 12 I omega^2
Onde:
  • I é o momento de inércia do sistema,
  • omega é a velocidade angular.
O momento de inércia ( I) depende de como as massas estão distribuídas em relação ao eixo de rotação. Para cada massa pontual, o momento de inércia é I = m r^2, onde m é a massa e r é a distância até o eixo.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia total do sistema. Supondo que todas as hastes têm o mesmo comprimento L, cada bola está a uma distância L do centro. Então:
  • Duas bolas com massa M: Cada uma contribui com I = M L^2, então juntas elas somam 2 M L^2.
  • Uma bola com massa M/2: Contribui com I = M2 L^2.
  • A bola central de massa 2M: Como está no eixo de rotação, sua contribuição é zero ( I = 0).
Somando tudo:
Itotal = 2 M L^2 + M2 L^2 = 5 M L^22

Passo 4

Agora, a energia cinética inicial do sistema quando está girando com velocidade angular omega é:
Ekinicial = 12 I omega^2 = 12 ( 5 M L^22 ) omega^2 = 5 M L^2 omega^24

Passo 5

O sistema começa a desacelerar com uma aceleração angular constante alpha. Queremos saber a variação da energia cinética após duas voltas completas. Primeiro, vamos descobrir quanto tempo leva para fazer duas voltas.
Uma volta completa corresponde a um ângulo theta = 2pi radianos. Então, duas voltas são theta = 4pi radianos.
Usando a equação do movimento angular com aceleração constante:
theta = omega t + 12 (-alpha) t^2
Aqui, substituímos a aceleração angular por -alpha porque é uma desaceleração.
Então:
4pi = omega t - 12 alpha t^2
Resolvendo essa equação para t, podemos encontrar o tempo que leva para completar as duas voltas.

Passo 6

Vamos rearranjar a equação:
12 alpha t^2 - omega t + 4pi = 0
Essa é uma equação quadrática na forma a t^2 + b t + c = 0, onde:
  • a = 12 alpha
  • b = -omega
  • c = 4pi
Usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo:
t = omega pm raizomega^2 - 4 cdot 12 alpha cdot 4pi2 cdot 12 alpha = omega pm raizomega^2 - 8pi alphaalpha
Considerando apenas a solução positiva, temos o tempo t necessário para completar as duas voltas.

Passo 7

Agora, vamos determinar a velocidade angular final após o tempo t. Usando a equação:
omegaf = omega + (-alpha) t = omega - alpha t
Substituímos o valor de t encontrado anteriormente:
omegaf = omega - alpha ( omega - raizomega^2 - 8pi alphaalpha ) = raizomega^2 - 8pi alpha

Passo 8

Agora que temos a velocidade angular final, podemos calcular a energia cinética final:
Ekfinal = 12 I omegaf^2 = 12 ( 5 M L^22 ) ( omega^2 - 8pi alpha ) = 5 M L^2 (omega^2 - 8pi alpha)4

Passo 9

A variação da energia cinética é a diferença entre a energia final e a inicial:
De

Resposta

A variação da energia cinética do sistema após duas voltas completas é De.

Exercícios relacionados