Calcule o momento de inércia, em relação ao seu eixo de simetria, de uma capa cilíndrica de raio R e massa M, supondo ( A ) que sua espessura seja desprezível, (B) de um cilindro oco de massa M, em que o raio interior seja r e o exterior seja R.

Passo 1

Beleza, então temos duas partes nesse exercício sobre momento de inércia de cilindros. Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia: é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Vamos precisar usar fórmulas de momento de inércia para cilindros. Vamos começar com a parte A.

Passo 2

Parte A: Queremos calcular o momento de inércia de uma capa cilíndrica de raio e massa , com espessura desprezível. Isso significa que estamos lidando com um cilindro oco muito fino.

Passo 3

Para um cilindro oco de raio I = M R^2 e massa , o momento de inércia em relação ao eixo de simetria é dado pela fórmula:
Essa fórmula nos diz que o momento de inércia depende da massa do cilindro e do quadrado do seu raio.

Passo 4

Aplicando a fórmula, substituímos os valores conhecidos:
I = M R^2
Então, o momento de inércia da capa cilíndrica é simplesmente .

Passo 5

Parte B: Agora, queremos calcular o momento de inércia de um cilindro oco com massa , onde o raio interior é e o raio exterior é . Aqui, a espessura não é desprezível.

Passo 6

Para um cilindro oco com raio interno I = 12 M ( R^2 + r^2 ) e raio externo , o momento de inércia em relação ao eixo de simetria é dado pela fórmula:
Essa fórmula leva em conta tanto o raio interno quanto o externo, refletindo a distribuição de massa no cilindro.

Passo 7

Aplicando a fórmula, substituímos os valores conhecidos:
I = 12 M ( R^2 + r^2 )
Então, o momento de inércia do cilindro oco com espessura é .

Resposta

O momento de inércia do cilindro oco é .

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