Oito partículas de massa
estão dispostas como se estivessem nos vértices de um cubo de lado
. Determine o momento de inércia do sistema em relação a um eixo (A) contendo uma aresta do cubo; (B) passando por seu centro e perpendicular a duas faces opostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos oito partículas, cada uma de massa
, arrumadas nos vértices de um cubo de lado
. Nosso objetivo é encontrar o momento de inércia desse sistema em relação a dois eixos diferentes:
- (A) Um eixo que passa por uma aresta do cubo.
- (B) Um eixo que passa pelo centro do cubo e é perpendicular a duas faces opostas.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de momento de inércia, que basicamente mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia
de um ponto de massa é:
onde
é a distância da massa ao eixo de rotação.
Passo 2
Vamos começar pelo item (A): o eixo que passa por uma aresta do cubo. Imagine um cubo com uma aresta vertical; esse é o nosso eixo.
Primeiro, identificamos a posição de cada massa em relação a esse eixo:
- As duas partículas que estão na própria aresta têm distância
do eixo, já que estão sobre ele. - As outras seis partículas estão nos vértices opostos. Vamos calcular a distância dessas partículas ao eixo.
Passo 3
Para as partículas que não estão no eixo, percebemos que elas formam retângulos com lados iguais a
. A distância de cada uma dessas partículas ao eixo é igual à distância perpendicular do ponto ao eixo.
Usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar essa distância:
Então, cada uma das seis partículas tem uma distância
do eixo.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula do momento de inércia para cada partícula:
- As duas partículas no eixo contribuem com
para o momento de inércia. - As seis partículas a uma distância
do eixo contribuem com cada.
Somando todas as contribuições:
Passo 5
Passando para o item (B): o eixo que passa pelo centro do cubo e é perpendicular a duas faces opostas.
Nesse caso, cada massa está a uma certa distância do centro do cubo. Vamos calcular essa distância.
No cubo, a distância do centro a qualquer vértice é:
Isso vem do fato de que o centro está a metade do lado
em todas as três dimensões, então usamos o Teorema de Pitágoras em três dimensões.
Passo 6
Aplicando a fórmula do momento de inércia para cada uma das oito partículas:
Como são oito partículas, somamos todas as contribuições:
Resposta
- (A) O momento de inércia em relação a um eixo contendo uma aresta do cubo é
. - (B) O momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro e é perpendicular a duas faces opostas também é
.