Oito partículas de massa m estão dispostas como se estivessem nos vértices de um cubo de lado a. Determine o momento de inércia do sistema em relação a um eixo (A) contendo uma aresta do cubo; (B) passando por seu centro e perpendicular a duas faces opostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos oito partículas, cada uma de massa I = m cdot r^2 , arrumadas nos vértices de um cubo de lado . Nosso objetivo é encontrar o momento de inércia desse sistema em relação a dois eixos diferentes:
  • (A) Um eixo que passa por uma aresta do cubo.
  • (B) Um eixo que passa pelo centro do cubo e é perpendicular a duas faces opostas.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de momento de inércia, que basicamente mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia de um ponto de massa é:
onde é a distância da massa ao eixo de rotação.

Passo 2

Vamos começar pelo item (A): o eixo que passa por uma aresta do cubo. Imagine um cubo com uma aresta vertical; esse é o nosso eixo.
Primeiro, identificamos a posição de cada massa em relação a esse eixo:
  • As duas partículas que estão na própria aresta têm distância do eixo, já que estão sobre ele.
  • As outras seis partículas estão nos vértices opostos. Vamos calcular a distância dessas partículas ao eixo.

Passo 3

Para as partículas que não estão no eixo, percebemos que elas formam retângulos com lados iguais a r = a . A distância de cada uma dessas partículas ao eixo é igual à distância perpendicular do ponto ao eixo.
Usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar essa distância:
Então, cada uma das seis partículas tem uma distância do eixo.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do momento de inércia para cada partícula:
  • As duas partículas no eixo contribuem com IA = 6 cdot m cdot a^2 para o momento de inércia.
  • As seis partículas a uma distância do eixo contribuem com cada.
Somando todas as contribuições:

Passo 5

Passando para o item (B): o eixo que passa pelo centro do cubo e é perpendicular a duas faces opostas.
Nesse caso, cada massa está a uma certa distância do centro do cubo. Vamos calcular essa distância.
No cubo, a distância do centro a qualquer vértice é:
r = a2 raiz3
Isso vem do fato de que o centro está a metade do lado em todas as três dimensões, então usamos o Teorema de Pitágoras em três dimensões.

Passo 6

Aplicando a fórmula do momento de inércia para cada uma das oito partículas:
I = m cdot (a2 raiz3)^2 = m cdot 3a^24 = 34 m a^2
Como são oito partículas, somamos todas as contribuições:
IB = 8 cdot 34 m a^2 = 6 m a^2

Resposta

  • (A) O momento de inércia em relação a um eixo contendo uma aresta do cubo é .
  • (B) O momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro e é perpendicular a duas faces opostas também é .

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