Determine o comprimento de um pêndulo simples cujo período para pequenas oscilações vale 5,0 s. Qual seria o período desse pêndulo se ele estivesse na Lua, cuja aceleração da gravidade vale um sexto do que vale na Terra?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulos! A gente precisa determinar o comprimento de um pêndulo simples que tem um período de 5,0 s para pequenas oscilações. Além disso, vamos descobrir qual seria esse período se o pêndulo estivesse na Lua, onde a gravidade é um sexto da Terra. Para isso, vamos usar a fórmula do período do pêndulo e entender como a gravidade afeta esse período.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o período T do pêndulo com o comprimento L e a aceleração da gravidade g:
T = 2pi raizLg
Essa fórmula nos mostra que o período depende do comprimento do pêndulo e da gravidade do local onde ele está.

Passo 3

Como queremos encontrar o comprimento L, vamos reorganizar a fórmula para isolar L. Primeiro, dividimos ambos os lados por 2pi:
T2pi = raizLg
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
(T2pi)^2 = Lg
Agora, multiplicamos ambos os lados por g para resolver para L:
L = g (T2pi)^2

Passo 4

Vamos agora calcular o comprimento L na Terra. Sabemos que o período T é 5,0 s e a aceleração da gravidade na Terra é aproximadamente 9,81 m/s^2. Substituindo esses valores na fórmula:
L = 9,81 (5,02pi)^2

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro, calcule 5,02pi:
5,02pi approx 5,06,2832 approx 0,796 s
  1. Em seguida, eleve esse valor ao quadrado:
(0,796)^2 approx 0,633 s^2
  1. Finalmente, multiplique pelo g:
L = 9,81 times 0,633 approx 6,20 m

Passo 6

Agora, vamos descobrir qual seria o período desse pêndulo na Lua. Sabemos que a aceleração da gravidade na Lua é um sexto da Terra. Então, gLua = 9,816 approx 1,635 m/s^2.

Passo 7

Usando a mesma fórmula do período:
TLua = 2pi raizLgLua
Já calculamos L approx 6,20 m e gLua approx 1,635 m/s^2, então substituímos:
TLua = 2pi raiz6,201,635

Passo 8

Vamos calcular:
  1. Primeiro, divida 6,20 por 1,635:
6,201,635 approx 3,793 m cdot s^2/m
  1. Em seguida, tire a raiz quadrada desse valor:
raiz3,793 approx 1,947 s
  1. Por fim, multiplique por 2pi:
TLua = 2pi times 1,947 approx 12,23 s

Resposta

O comprimento do pêndulo é aproximadamente 6,20 metros e o período na Lua seria cerca de 12,23 segundos.

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