Calcule o momento de inércia dos seguintes objetos (assuma que esses objetos têm densidade constante rho ):
Um anel delgado de raio R girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia. A gente tem um anel delgado de raio com densidade constante , e precisamos calcular o seu momento de inércia quando ele gira em torno de um eixo que passa pelo centro dele. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, e vamos precisar usar conceitos de física sobre rotação e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de momento de inércia ( I = integral r^2 , dm ). Para um objeto contínuo, ele é definido pela integral:
onde é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação. No nosso caso, como o anel é delgado e todas as partículas estão à mesma distância do eixo, essa distância é constante e igual a .

Passo 3

Como o anel é delgado e todas as massas estão a uma distância I = R^2 integral dm do eixo, podemos simplificar a integral. A expressão fica:
A integral representa a massa total do anel, que vamos chamar de .

Passo 4

Agora, precisamos relacionar a massa total M = rho cdot 2pi R cdot t com a densidade . Para um anel delgado, a massa é dada por:
onde é a espessura radial do anel. Como o anel é considerado delgado, é muito pequeno e podemos considerar .

Passo 5

Voltando à expressão do momento de inércia:
I = R^2 cdot M
Substituímos I = R^2 cdot (rho cdot 2pi R cdot t) pela expressão que encontramos:
I = 2pi rho R^3 cdot t
I = M R^2
Como é pequeno e muitas vezes consideramos apenas a distribuição em torno do eixo, podemos simplificar para:

Resposta

O momento de inércia do anel delgado é .

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