Calcule o momento de inércia dos seguintes objetos (assuma que esses objetos têm densidade constante
):
Um anel delgado de raio
girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro.
Um anel delgado de raio
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício sobre momento de inércia. A gente tem um anel delgado de raio
com densidade constante
, e precisamos calcular o seu momento de inércia quando ele gira em torno de um eixo que passa pelo centro dele. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, e vamos precisar usar conceitos de física sobre rotação e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de momento de inércia (
). Para um objeto contínuo, ele é definido pela integral:
onde
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação. No nosso caso, como o anel é delgado e todas as partículas estão à mesma distância
do eixo, essa distância
é constante e igual a
.
Passo 3
Como o anel é delgado e todas as massas estão a uma distância
do eixo, podemos simplificar a integral. A expressão fica:
A integral
representa a massa total do anel, que vamos chamar de
.
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a massa total
com a densidade
. Para um anel delgado, a massa é dada por:
onde
é a espessura radial do anel. Como o anel é considerado delgado,
é muito pequeno e podemos considerar
.
Passo 5
Voltando à expressão do momento de inércia:
Substituímos
pela expressão que encontramos:
Como
é pequeno e muitas vezes consideramos apenas a distribuição em torno do eixo, podemos simplificar para:
Resposta
O momento de inércia do anel delgado é
.
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e
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):
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Uma esfera de raio
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.