Calcule o momento de inércia dos seguintes objetos (assuma que esses objetos têm densidade constante rho ):
Uma esfera de raio R girando em seu eixo de simetria.

Passo 1

Então, a gente vai calcular o momento de inércia de uma esfera com raio R que está girando ao redor do seu eixo de simetria. O conteúdo que vamos usar aqui é de física, mais especificamente de mecânica rotacional. Para resolver isso, precisamos saber a fórmula do momento de inércia e a massa da esfera, que depende da densidade constante rho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( I) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma esfera sólida, a fórmula geral do momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro é:
I = 25 M R^2
Aqui, M é a massa da esfera e R é o raio.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a massa ( M) da esfera. A massa pode ser calculada pela densidade ( rho) multiplicada pelo volume ( V) da esfera. A fórmula do volume de uma esfera é:
V = 43 pi R^3
Então, a massa será:
M = rho V = rho ( 43 pi R^3 ) = 43 pi rho R^3

Passo 4

Com a massa encontrada, podemos substituir na fórmula do momento de inércia:
I = 25 M R^2 = 25 ( 43 pi rho R^3 ) R^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
I = 25 times 43 pi rho R^5 = 815 pi rho R^5

Resposta

O momento de inércia da esfera é I = dfrac815 pi rho R^5.

Exercícios relacionados