Um planeta semelhante à Terra. Em janeiro de 2006, astrônomos relataram a descoberta de um planeta comparável em tamanho à Terra, na órbita de outra estrela e com massa aproximadamente 5,5 vezes a massa da Terra. Acredita-se que consista de um misto de rocha e gelo, semelhante a Netuno. Se esse planeta possui a mesma densidade de Netuno (1,76 g / cm^3), qual é o seu raio expresso a) em quilômetros e b) como múltiplo do raio 9. da Terra? Consulte o Apêndice F para obter dados de astronomia. 1,64 times 104 km ; 2,57 R Terra

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um planeta parecido com a Terra, com massa 5,5 vezes a massa da Terra e densidade igual à de Netuno, que é de . Precisamos descobrir o raio desse planeta em duas partes: a) em quilômetros e b) como múltiplo do raio da Terra. Para isso, vamos usar a fórmula da densidade, que relaciona massa e volume, e depois calcular o raio a partir do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da densidade:
Densidade = MassaVolume
Queremos encontrar o volume do planeta, então rearranjamos a fórmula:
Volume = MassaDensidade
Sabemos que a massa do planeta é 5,5 vezes a massa da Terra ( 1 g/cm^3 = 1000 kg/m^3 Rightarrow 1,76 g/cm^3 = 1760 kg/m^3 ) e a densidade é . Mas é melhor trabalhar com unidades consistentes, então vamos converter a densidade para :

Passo 3

Agora, vamos expressar a massa do planeta em kg. Sabemos que a massa da Terra é aproximadamente Mplaneta = 5,5 times MTerra = 5,5 times 5,97 times 10^24 kg = 3,2835 times 10^25 kg , então:

Passo 4

Com a massa e a densidade, podemos calcular o volume:
V = 3,2835 times 10^25 kg1760 kg/m^3 = 1,865 times 10^22 m^3

Passo 5

Sabendo que o volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Podemos isolar o raio r = ( 3V4pi )^1/3 :
r = ( 3 times 1,865 times 10^224pi )^1/3
Substituindo o valor do volume:
r approx ( 5,595 times 10^2212,566 )^1/3
r approx ( 4,456 times 10^21 )^1/3 approx 1,64 times 10^7 m
r approx 1,64 times 10^4 km
Convertendo para quilômetros:

Passo 6

Agora, para achar o raio como múltiplo do raio da Terra, sabemos que o raio da Terra é de aproximadamente rplanetarTerra = 1,64 times 10^4 km6,371 times 10^3 km approx 2,57 . Então:
Isso significa que o raio do planeta é aproximadamente 2,57 vezes o raio da Terra.

Resposta

a) ; b)

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