Calcule o momento de inércia da superfície esférica de raio , homogênea, de massa , em torno de qualquer diâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o momento de inércia de uma superfície esférica homogênea com raio e massa em torno de qualquer diâmetro. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre rotação e distribuição de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais a massa estiver afastada desse eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia é:
Onde é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

No caso de uma superfície esférica homogênea, a massa está distribuída de forma uniforme na superfície da esfera. Isso significa que todos os pontos da superfície estão à mesma distância do centro. Como estamos calculando o momento de inércia em torno de um diâmetro, precisamos considerar a distribuição dessa massa em relação a esse eixo.

Passo 4

Devido à simetria da esfera, podemos usar uma fórmula conhecida para o momento de inércia de uma esfera oca (superfície esférica) em torno de um diâmetro:
Essa fórmula já considera que a massa está distribuída uniformemente na superfície esférica e simplifica o cálculo integral.

Resposta

O momento de inércia da superfície esférica em torno de qualquer diâmetro é:

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