Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de ions negativos e produzir um campo elétrico no ar de até
1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões 2,0 m times 2,0 m times 3,0 m. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superficie gaussiana que envolve o ar do banheiro. A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas
no banheiro é dada por:

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos um banheiro fechado com dimensões de . Quando o chuveiro está ligado, os respingos de água produzem íons negativos que geram um campo elétrico no ar de até . No entanto, no teto, no piso e nas quatro paredes, o campo elétrico é perpendicular à superfície e tem um módulo uniforme de . Essas superfícies formam uma superfície gaussiana que envolve o ar do banheiro. Queremos encontrar a densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga elétrica envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss que é dada por:
ointSuperfície E cdot dA = Qinternovarepsilon0 í
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície,
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana,
  • é a constante de permissividade do vácuo ( ).
Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular às superfícies, podemos simplificar o cálculo do fluxo elétrico.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo elétrico através de cada superfície do banheiro. Como o banheiro tem 6 superfícies (tecido, piso e 4 paredes), mas o campo elétrico é o mesmo em todas elas e perpendicular, o fluxo total será:
Phi = E cdot Atotal
Onde Atotal = 12,0 , m^2 + 24,0 , m^2 = 36,0 , m^2 é a soma das áreas de todas as superfícies.
Calculando as áreas:
  • Área do teto e do piso: Phi = 600 , N/C times 36,0 , m^2 = 21.600 , N·m^2/C
  • Área das quatro paredes:
Totalizando:
Então, o fluxo elétrico é:

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss para encontrar a carga total Phi = Qinternovarepsilon0 implies Qinterno = Phi times varepsilon0 :
Qinterno = 21.600 , N·m^2/C times 8,85 times 10^-12 , C^2/N·m^2 = 1,912 times 10^-7 , C
Substituindo os valores:

Passo 5

Finalmente, para encontrar a densidade volumétrica de carga rho = QinternoV , usamos a relação:
V = 2,0 , m times 2,0 , m times 3,0 , m = 12,0 , m^3
Onde rho = 1,912 times 10^-7 , C12,0 , m^3 = 1,594 times 10^-8 , C/m^3 é o volume do banheiro:
Então:

Resposta

A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é de aproximadamente .

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