Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado, os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de ions negativos e produzir um campo elétrico no ar de até
1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões
. Suponha que no teto, no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar é perpendicular à superfície e possui um módulo uniforme de 600 N/C. Suponha também que o teto, o piso e as paredes formam uma superficie gaussiana que envolve
ar do banheiro. A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas
no banheiro é dada por:
1000 N/C. Considere um banheiro de dimensões
no banheiro é dada por:
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos um banheiro fechado com dimensões de
. Quando o chuveiro está ligado, os respingos de água produzem íons negativos que geram um campo elétrico no ar de até
. No entanto, no teto, no piso e nas quatro paredes, o campo elétrico é perpendicular à superfície e tem um módulo uniforme de
. Essas superfícies formam uma superfície gaussiana que envolve o ar do banheiro. Queremos encontrar a densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga elétrica envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss que é dada por:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície, -
é a carga total dentro da superfície gaussiana, -
é a constante de permissividade do vácuo ( ).
Como o campo elétrico é uniforme e perpendicular às superfícies, podemos simplificar o cálculo do fluxo elétrico.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo elétrico através de cada superfície do banheiro. Como o banheiro tem 6 superfícies (tecido, piso e 4 paredes), mas o campo elétrico é o mesmo em todas elas e perpendicular, o fluxo total será:
Onde
é a soma das áreas de todas as superfícies.
Calculando as áreas:
- Área do teto e do piso:
- Área das quatro paredes:
Totalizando:
Então, o fluxo elétrico é:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss para encontrar a carga total
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Finalmente, para encontrar a densidade volumétrica de carga
, usamos a relação:
Onde
é o volume do banheiro:
Então:
Resposta
A densidade volumétrica de cargas elétricas distribuídas no banheiro é de aproximadamente
.
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(b)
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