Duas massas m1=0,20 kg e m2=0,30 kg ligadas por uma haste de massa desprezível compõem um corpo rígido e estão instantaneamente distribuídas nas posições r1=30 j e r2=-20 j cm. Neste momento, o corpo anda com velocidade do centro de massa de 0,50 î m / s e com velocidade angular de 5 rad / s ao redor do eixo z. (a) Onde está o centro de massa? (b) Qual é o módulo da velocidade de cada partícula neste instante?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. Temos duas massas, e , ligadas por uma haste que não tem massa. Essas massas estão posicionadas em cm e cm. O corpo todo está se movendo com uma velocidade do centro de massa de e está girando com uma velocidade angular de em torno do eixo .
Vamos precisar usar a Fórmula do Centro de Massa para achar onde ele está e depois calcular as velocidades individuais de cada massa considerando tanto o movimento do centro de massa quanto a rotação do corpo rígido.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do centro de massa ( Rcm = m1 r1 + m2 r2m1 + m2 ). A fórmula para isso é:
Aqui, e são as posições das massas em relação a uma origem escolhida.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Rcm = 0,20 times 30 j + 0,30 times (-20) j0,20 + 0,30
Fazendo as multiplicações:
Rcm = 6 j - 6 j0,50 = 00,50 = 0 j , cm
Ou seja, o centro de massa está na origem.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade de cada partícula. A velocidade de uma partícula em um corpo rígido é a soma da velocidade do centro de massa ( vi = Vcm + omega times r'i ) e da velocidade devido à rotação ( ), onde é a posição da partícula em relação ao centro de massa.
Então, a velocidade de cada massa é:

Passo 5

Primeiro, vamos converter as posições para metros:
r1 = 0,30 j , m e r2 = -0,20 j , m
Como o centro de massa está na origem, e .

Passo 6

Vamos calcular omega times r'1 = 5 k times 0,30 j = 5 times 0,30 (k times j) = 1,5 (-i) = -1,5 i , m/s . Sabemos que omega times r'2 = 5 k times (-0,20) j = 5 times (-0,20) (k times j) = -1,0 (-i) = 1,0 i , m/s .
Para :
Para :

Passo 7

Agora, somamos a velocidade do centro de massa a cada uma dessas velocidades:
Para v1 = 0,50 i + (-1,5 i) = -1,0 i , m/s :
v2 = 0,50 i + 1,0 i = 1,5 i , m/s
Para :

Resposta

(a) O centro de massa está na origem, em .
(b) As velocidades das partículas são:

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