Duas massas e ligadas por uma haste de massa desprezível compõem um corpo rígido e estão instantaneamente distribuídas nas posições e . Neste momento, o corpo anda com velocidade do centro de massa de 0,50 î e com velocidade angular de ao redor do eixo . (a) Onde está o centro de massa? (b) Qual é o módulo da velocidade de cada partícula neste instante?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. Temos duas massas, e , ligadas por uma haste que não tem massa. Essas massas estão posicionadas em cm e cm. O corpo todo está se movendo com uma velocidade do centro de massa de e está girando com uma velocidade angular de em torno do eixo .
Vamos precisar usar a Fórmula do Centro de Massa para achar onde ele está e depois calcular as velocidades individuais de cada massa considerando tanto o movimento do centro de massa quanto a rotação do corpo rígido.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do centro de massa ( ). A fórmula para isso é:
Aqui, e são as posições das massas em relação a uma origem escolhida.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
Fazendo as multiplicações:
Ou seja, o centro de massa está na origem.

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade de cada partícula. A velocidade de uma partícula em um corpo rígido é a soma da velocidade do centro de massa ( ) e da velocidade devido à rotação ( ), onde é a posição da partícula em relação ao centro de massa.
Então, a velocidade de cada massa é:

Passo 5

Primeiro, vamos converter as posições para metros:
Como o centro de massa está na origem, e .

Passo 6

Vamos calcular . Sabemos que .
Para :
Para :

Passo 7

Agora, somamos a velocidade do centro de massa a cada uma dessas velocidades:
Para :
Para :

Resposta

(a) O centro de massa está na origem, em .
(b) As velocidades das partículas são:

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(b)