Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(b) sumn=1^infty 8(4 n-3)(4 n+1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, ou seja, uma soma que vai até o infinito. O objetivo é encontrar o termo geral das somas parciais dessa série e depois verificar se a série converge (chega a um valor finito) ou diverge (não converge). Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais para simplificar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: 8(4n - 3)(4n + 1) = A4n - 3 + B4n + 1 . Para simplificar essa expressão, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 8 = A(4n + 1) + B(4n - 3) e 8 = A(4 cdot 34 + 1) = A(3 + 1) = 4A implies A = 2 . Multiplicando ambos os lados por 8 = B(4 cdot -14 - 3) = B(-1 - 3) = -4B implies B = -2 , temos:
Para encontrar e , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Por exemplo:
  • Se , então :
  • Se , então :

Passo 4

Com os valores de 8(4n - 3)(4n + 1) = 24n - 3 - 24n + 1 e sumn=1^infty ( 24n - 3 - 24n + 1 ) encontrados, podemos reescrever o termo geral da série:
Isso significa que a série original pode ser escrita como:

Passo 5

Vamos calcular as somas parciais dessa série. Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários termos consecutivos. Vamos calcular a soma até o termo SN = sumn=1^N ( 24n - 3 - 24n + 1 ) = 2 ( 11 - 14N + 1 ) :

Resposta

A soma parcial é . Quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto, a série converge e sua soma é 2.

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