Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita, ou seja, uma soma que vai até o infinito. O objetivo é encontrar o termo geral das somas parciais dessa série e depois verificar se a série converge (chega a um valor finito) ou diverge (não converge). Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais para simplificar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Para simplificar essa expressão, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Por exemplo:
- Se
, então :
- Se
, então :
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever o termo geral da série:
Isso significa que a série original pode ser escrita como:
Passo 5
Vamos calcular as somas parciais dessa série. Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários termos consecutivos. Vamos calcular a soma até o termo
:
Resposta
A soma parcial é
. Quando
tende ao infinito,
tende a 0. Portanto, a série converge e sua soma é 2.