Calcule, se possível, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
, na direção do vetor unitário normal exterior.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
,
e
. Usaremos dois métodos: pela definição e pelo teorema da divergência. Para isso, precisamos entender conceitos de campos vetoriais, cálculo de fluxo e o teorema da divergência que relaciona o fluxo com a divergência do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo pela definição. O fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado por:
onde
é o vetor normal unitário externo à superfície.
Passo 3
O sólido
é um cilindro com base no plano
de raio 1, limitado por
e estendido no eixo
de
a
. A fronteira
consiste de três partes:
- Base inferior (
): um disco de raio 1. - Base superior (
): a superfície curva do cilindro. - Superfície lateral (
): as paredes do cilindro.
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas partes e somar os resultados.
Passo 4
Fluxo na base inferior (
):
Aqui,
, então
. O vetor normal
aponta para baixo, na direção de
. Como o campo é nulo, o fluxo nesta parte é:
Passo 5
Fluxo na base superior (
):
Nesta superfície,
e varia com
e
. O vetor normal externo
pode ser encontrado a partir da derivada da superfície. No entanto, para simplificação, usaremos o teorema da divergência para calcular o fluxo total, evitando calcular cada superfície individualmente.
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que diz:
Primeiro, calculamos a divergência de
:
Passo 7
Agora, calculamos a integral tripla da divergência sobre o sólido
:
Em coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
, com
,
,
, o elemento de volume é
. Assim, a integral fica:
Passo 8
Calculamos as integrais passo a passo:
- Integração em
:
- Integração em
:
- Integração em
:
Passo 9
Portanto, o fluxo total através da fronteira do sólido
é:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido
é igual a 6.