Uma esfera de raio
carrega uma polarização da forma
em que
é uma constante e
é o vetor posição relativo ao centro da esfera. Considere os seguintes itens:
(i) Qual a dimensão de
?
(ii) Calcule as densidades de cargas ligadas
e
.
(iii) Encontre o campo dentro e fora da esfera.
(i) Qual a dimensão de
(ii) Calcule as densidades de cargas ligadas
(iii) Encontre o campo dentro e fora da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera de raio
que possui uma polarização definida por
, onde
é uma constante e
é o vetor posição a partir do centro da esfera. Vamos precisar entender de eletrostática, especificamente sobre polarização em materiais, densidades de carga ligada e campos elétricos resultantes. Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Item (i): Qual a dimensão de
?
Para descobrir as dimensões de
, vamos analisar a expressão da polarização
. A polarização
tem unidades de dipolo por unidade de volume, que são
(coulombs por metro quadrado).
Sabendo disso, e que
tem unidades de comprimento (
), temos:
Passo 3
Item (ii): Calcule as densidades de cargas ligadas
e
.
As densidades de carga ligada são dadas por:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
. Na superfície da esfera,
é o vetor radial unitário
:
Passo 4
Item (iii): Encontre o campo dentro e fora da esfera.
Para encontrar o campo elétrico, vamos usar as relações da polarização para determinar as cargas ligadas e, em seguida, aplicar a Lei de Gauss.
Dentro da esfera (
):
A densidade de carga volumétrica ligada é
. Essa carga está uniformemente distribuída, então podemos usar a Lei de Gauss para uma distribuição esférica:
O campo elétrico devido a uma carga volumétrica distribuída uniformemente é:
Fora da esfera (
):
A carga total ligada é a integral de
sobre o volume:
Como a esfera é polarizada, além da carga volumétrica, há a carga superficial
. A carga total superficial é:
Somando as cargas, temos
. Portanto, fora da esfera, o campo elétrico é devido apenas às cargas internas:
Resposta
(i) A dimensão de
é
.
(ii) As densidades de cargas ligadas são
e
.
(iii) O campo elétrico dentro da esfera é
e fora da esfera é
.