Uma esfera de raio a carrega uma polarização da forma
P(r)=k r
em que k é uma constante e r é o vetor posição relativo ao centro da esfera. Considere os seguintes itens:
(i) Qual a dimensão de k ?
(ii) Calcule as densidades de cargas ligadas sigmab e rhob.
(iii) Encontre o campo dentro e fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera de raio que possui uma polarização definida por , onde é uma constante e é o vetor posição a partir do centro da esfera. Vamos precisar entender de eletrostática, especificamente sobre polarização em materiais, densidades de carga ligada e campos elétricos resultantes. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Item (i): Qual a dimensão de [P] = [k][r] Rightarrow C/m^2 = [k] times m Rightarrow [k] = Cm^3 ?
Para descobrir as dimensões de , vamos analisar a expressão da polarização . A polarização tem unidades de dipolo por unidade de volume, que são (coulombs por metro quadrado).
Sabendo disso, e que tem unidades de comprimento ( ), temos:

Passo 3

Item (ii): Calcule as densidades de cargas ligadas rhob = -nabla cdot P e sigmab = P cdot n .
As densidades de carga ligada são dadas por:
P = k r = k x i + k y j + k z k
nabla cdot P = partial (k x)partial x + partial (k y)partial y + partial (k z)partial z = k + k + k = 3k
Primeiro, calculamos rhob = -3k :
P cdot n = k r cdot r = k r cos 0 = k a
sigmab = k a
Agora, calculamos . Na superfície da esfera, é o vetor radial unitário :

Passo 4

Item (iii): Encontre o campo dentro e fora da esfera.
Para encontrar o campo elétrico, vamos usar as relações da polarização para determinar as cargas ligadas e, em seguida, aplicar a Lei de Gauss.
Dentro da esfera ( oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 ):
A densidade de carga volumétrica ligada é Edentro = -rhob3varepsilon0 r = 3k3varepsilon0 r = kvarepsilon0 r . Essa carga está uniformemente distribuída, então podemos usar a Lei de Gauss para uma distribuição esférica:
Qtotal = integral rhob dV = -3k times 43pi a^3 = -4pi k a^3
O campo elétrico devido a uma carga volumétrica distribuída uniformemente é:
Qsuperfície = sigmab times 4pi a^2 = 4pi k a^3
Fora da esfera ( Efora = 0 ):
A carga total ligada é a integral de sobre o volume:
Como a esfera é polarizada, além da carga volumétrica, há a carga superficial . A carga total superficial é:
í
Somando as cargas, temos . Portanto, fora da esfera, o campo elétrico é devido apenas às cargas internas:

Resposta

(i) A dimensão de é .
(ii) As densidades de cargas ligadas são e .
(iii) O campo elétrico dentro da esfera é e fora da esfera é .

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