Calcule:
(n) 1/4 ln(5 + 6 x^2) + k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a expressão . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a derivada de uma função logarítmica e entender como as constantes se comportam nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da expressão que precisam ser derivadas. Temos duas partes principais:
  1. k (uma constante)

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira parte. A função é uma constante multiplicando um logaritmo natural de uma função composta. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de , onde , é . Então:
Aqui, derivamos em relação a x, o que dá .

Passo 5

Agora, multiplicamos pela constante que estava na frente do logaritmo, que é 1/4:

Passo 6

A segunda parte da expressão é k, que é uma constante. A derivada de uma constante é zero:

Resposta

Portanto, a derivada da expressão em relação a x é:

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