Calcule
sendo
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, a gente precisa calcular o gradiente da função
. Isso envolve um pouco de cálculo de derivadas parciais e algumas propriedades de logaritmos e funções compostas. Vamos precisar entender como diferenciar logaritmos e como lidar com raízes quadradas dentro das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para deixar mais fácil de trabalhar. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de
. Então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o logaritmo de uma potência pode ser simplificado usando a propriedade
. Aplicando isso:
Passo 4
Com isso simplificado, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. O gradiente é justamente o vetor dessas derivadas.
Passo 5
Vamos começar com a derivada parcial em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
vezes a derivada de
, onde
.
Passo 6
Agora, fazemos a mesma coisa para a derivada parcial em relação a
:
Usamos novamente a regra da cadeia, desta vez em relação a
.
Resposta
Juntando as derivadas parciais, o gradiente de
é:
Exercícios relacionados
Calcule
sendo
(e)
(e)
Obtenha
, o vetor gradiente da função
onde
.
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(e)
(e)
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(d)
(d)