Calcule nabla f(x, y) sendo f(x, y) =
(g) g(x, y) = ln(raiz(x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular o gradiente da função . Isso envolve um pouco de cálculo de derivadas parciais e algumas propriedades de logaritmos e funções compostas. Vamos precisar entender como diferenciar logaritmos e como lidar com raízes quadradas dentro das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para deixar mais fácil de trabalhar. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o logaritmo de uma potência pode ser simplificado usando a propriedade . Aplicando isso:

Passo 4

Com isso simplificado, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . O gradiente é justamente o vetor dessas derivadas.

Passo 5

Vamos começar com a derivada parcial em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é vezes a derivada de , onde .

Passo 6

Agora, fazemos a mesma coisa para a derivada parcial em relação a :
Usamos novamente a regra da cadeia, desta vez em relação a .

Resposta

Juntando as derivadas parciais, o gradiente de é:

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Calcule nabla f(x, y) sendo f(x, y) =
(e) 4x^2 - 3xy + y^2
Obtenha P(2,3), o vetor gradiente da função f onde f(x, y) = xy + x + y^2.
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule nabla f(x, y, z) sendo f(x, y, z) =
(e) 3 z ln(x+y)
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule nabla f(x, y, z) sendo f(x, y, z) =
(d) (x - y) / (x + z)