Obtenha P(2,3), o vetor gradiente da função f onde f(x, y) = xy + x + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar , que é o vetor gradiente da função no ponto (2,3). Então, a matéria que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais para determinar o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Para uma função de duas variáveis, , o gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Isso nos dá a direção de maior crescimento da função no ponto considerado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Isso porque, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante, resultando em . A derivada de em relação a é 1, e a de em relação a é 0.
Agora, a derivada parcial em relação a :
Aqui, derivando em relação a , obtemos , e derivando obtemos . A derivada de em relação a é 0.

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto :

Resposta

O vetor gradiente é .

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Considere a transformação T: R^2 -> R^2 dada por x = u + v e y = u - v. Desenhe T(B), sendo B a reta v = 0.
Seja z=raizx^2+y^2, calcule (partial^2 zpartial x^2-partial^2 zpartial y^2), no ponto P(3,4).
Calcule nabla f(x, y) sendo f(x, y) =
(e) 4x^2 - 3xy + y^2
Calcule nabla f(x, y) sendo f(x, y) =
(g) g(x, y) = ln(raiz(x^2 + y^2))