Obtenha
, o vetor gradiente da função
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar
, que é o vetor gradiente da função
no ponto (2,3). Então, a matéria que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais para determinar o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Para uma função de duas variáveis,
, o gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Isso nos dá a direção de maior crescimento da função no ponto considerado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Isso porque, ao derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante, resultando em
. A derivada de
em relação a
é 1, e a de
em relação a
é 0.
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aqui, derivando
em relação a
, obtemos
, e derivando
obtemos
. A derivada de
em relação a
é 0.
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto
:
Resposta
O vetor gradiente
é
.
Exercícios relacionados
Considere a transformação
dada por
e
. Desenhe
, sendo
a reta
.
Seja
, calcule
, no ponto
.
Calcule
sendo
(e)
(e)
Calcule
sendo
(g)
(g)