Obtenha P(2,3), o vetor gradiente da função f onde f(x, y) = xy + x + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar , que é o vetor gradiente da função no ponto (2,3). Então, a matéria que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas parciais para determinar o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Para uma função de duas variáveis, , o gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Isso nos dá a direção de maior crescimento da função no ponto considerado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Isso porque, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante, resultando em . A derivada de em relação a é 1, e a de em relação a é 0.
Agora, a derivada parcial em relação a :
Aqui, derivando em relação a , obtemos , e derivando obtemos . A derivada de em relação a é 0.

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto :

Resposta

O vetor gradiente é .

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