Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa definir o que é o gradiente de uma função que depende de três variáveis e, em seguida, calcular o gradiente da função
. Para isso, vamos usar derivadas parciais e entender como montar um vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de três variáveis, denotado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
. A fórmula geral é:
Isso significa que a gente precisa calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A função é
. A derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Seguindo um raciocínio parecido:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque a única parte da função que depende de
é
, cuja derivada em relação a
é
, multiplicada pela
.
Resposta
Juntando tudo, o gradiente da função
é:
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Calcule
sendo
(g)
(g)
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sendo
(e)
(e)
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(d)
(d)
Seja
. Represente geometricamente
, sendo