Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule nabla f(x, y, z) sendo f(x, y, z) =
(e) 3 z ln(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa definir o que é o gradiente de uma função que depende de três variáveis e, em seguida, calcular o gradiente da função . Para isso, vamos usar derivadas parciais e entender como montar um vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de três variáveis, denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis , e . A fórmula geral é:
Isso significa que a gente precisa calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A função é . A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Seguindo um raciocínio parecido:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Isso porque a única parte da função que depende de é , cuja derivada em relação a é , multiplicada pela .

Resposta

Juntando tudo, o gradiente da função é:

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