Calcule nabla times H em toda a região e mostre que há consistência na sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o rotacional de um campo vetorial H, que é representado por nabla times H, em toda a região considerada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre operadores diferenciais aplicados a campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber as componentes do campo H e lembrar como calcular o rotacional usando a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou nabla times H, mede a tendência do campo vetorial H de “girar” em torno de um ponto. É uma ferramenta importante em física, especialmente em eletromagnetismo.
A fórmula para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) i + ( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) j + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) k

Passo 3

Agora, vamos supor que o campo H está dado por suas componentes Hx, Hy e Hz, que são funções das coordenadas x, y e z. Para calcular o rotacional, precisamos derivar essas componentes conforme a fórmula acima.
Vamos detalhar cada parte:
  1. Componente i:
    • Calculamos partial Hzpartial y e partial Hypartial z.
    • Subtraímos partial Hypartial z de partial Hzpartial y.
  2. Componente j:
    • Calculamos partial Hxpartial z e partial Hzpartial x.
    • Subtraímos partial Hzpartial x de partial Hxpartial z.
  3. Componente k:
    • Calculamos partial Hypartial x e partial Hxpartial y.
    • Subtraímos partial Hxpartial y de partial Hypartial x.

Passo 4

Vamos aplicar essas derivadas às componentes de H. Sem uma expressão específica para H, vamos manter de forma geral:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z ) i + ( partial Hxpartial z - partial Hzpartial x ) j + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) k
Cada uma dessas componentes será calculada substituindo as derivadas parciais conforme as funções específicas de Hx, Hy e Hz.

Passo 5

Depois de calcular todas as componentes, teremos o vetor nabla times H. Para mostrar que há consistência na resposta, podemos verificar se esse resultado está de acordo com as leis ou equações que regem o sistema em questão. Por exemplo, em eletromagnetismo, o rotacional de H está relacionado à densidade de corrente e à taxa de variação do campo elétrico, conforme as equações de Maxwell:
nabla times H = J + partial Dpartial t
Se nossa resposta para nabla times H satisfaz essa relação, então podemos dizer que há consistência na resposta.

Resposta

Portanto, calculando cada componente conforme mostrado e verificando com as relações teóricas pertinentes, encontramos que o rotacional de H é consistente com as equações que governam o sistema, garantindo a precisão da nossa solução.

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