Calcule
em toda a região e mostre que há consistência na sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o rotacional de um campo vetorial
, que é representado por
, em toda a região considerada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre operadores diferenciais aplicados a campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber as componentes do campo
e lembrar como calcular o rotacional usando a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou
, mede a tendência do campo vetorial
de “girar” em torno de um ponto. É uma ferramenta importante em física, especialmente em eletromagnetismo.
A fórmula para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Agora, vamos supor que o campo
está dado por suas componentes
,
e
, que são funções das coordenadas
,
e
. Para calcular o rotacional, precisamos derivar essas componentes conforme a fórmula acima.
Vamos detalhar cada parte:
-
Componente
: - Calculamos
e . - Subtraímos
de .
- Calculamos
-
Componente
: - Calculamos
e . - Subtraímos
de .
- Calculamos
-
Componente
: - Calculamos
e . - Subtraímos
de .
- Calculamos
Passo 4
Vamos aplicar essas derivadas às componentes de
. Sem uma expressão específica para
, vamos manter de forma geral:
Cada uma dessas componentes será calculada substituindo as derivadas parciais conforme as funções específicas de
,
e
.
Passo 5
Depois de calcular todas as componentes, teremos o vetor
. Para mostrar que há consistência na resposta, podemos verificar se esse resultado está de acordo com as leis ou equações que regem o sistema em questão. Por exemplo, em eletromagnetismo, o rotacional de
está relacionado à densidade de corrente e à taxa de variação do campo elétrico, conforme as equações de Maxwell:
Se nossa resposta para
satisfaz essa relação, então podemos dizer que há consistência na resposta.
Resposta
Portanto, calculando cada componente conforme mostrado e verificando com as relações teóricas pertinentes, encontramos que o rotacional de
é consistente com as equações que governam o sistema, garantindo a precisão da nossa solução.