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Questão 13 UNIVERSO NARRADO (2024) #25699
(Professor Carlos Eduardo) Um estudante, que se encontrava no laboratório de física, realizou o seguinte experimento: colocou um balde furado preso a uma das extremidades de uma corda e o pendurou com auxílio de uma polia. A outra extremidade da corda se encontra presa à parede. Um pulso parte das proximidades da parede em direção a polia. No instante que o pulso começa a se propagar, uma quantidade de água, de massa m0, é colocada no interior do balde. Encontre a distância percorrida pelo enquanto a massa de água dentro do balde se reduz à metade.
Consideraçőes:
  • A taxa de variação de massa com o tempo devido o furo é dado por: d md t=-k raizm;
  • Considere que os pingos deixem o balde partindo do repouso;
  • A densidade linear da corda vale ^mu;
  • Considere desprezível a massa do balde e a massa da corda em relação à massa de água;
  • Gravidade local vale g.
    b L=m0k raizg6 mu

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando no exercício. Temos um estudante que colocou um balde furado numa corda, pendurou com uma polia e prendeu a outra ponta na parede. Quando um pulso inicia na parede e viaja até a polia, ele adiciona uma massa de água $ m_0 $ no balde. A pergunta é: qual a distância que o pulso percorre enquanto a massa de água no balde diminui pela metade. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de mecânica, como a relação entre força, massa e aceleração, além de entender como a massa varia com o tempo devido ao furo no balde.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como a massa da água no balde está mudando com o tempo. Foi dado que a taxa de variação da massa é $ \frac{dm}{dt} = -k \sqrt{m} $. Isso significa que a massa diminui à medida que o tempo passa, e a taxa de diminuição depende da raiz quadrada da massa atual.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar como a massa varia com o tempo. Temos:
dmdt = -k raizm
Podemos separar as variáveis:
dmraizm = -k , dt
Integrando ambos os lados:
2raizm = -kt + C
Agora, aplicando a condição inicial. Quando $ t = 0 $, $ m = m_0 $:
t = 0
Então, a solução é:
m = m0
Dividindo por 2:
2raizm0 = C
Elevando ao quadrado para resolver para $ m $:
2raizm = -kt + 2raizm0

Passo 4

Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a massa $ m $ é reduzida à metade, ou seja, $ m = \frac{m_0}{2} $. Então:
t
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
m
Resolvendo para $ t $:
m = m02
m02 = (-k2t + raizm0)^2
Simplificando:
raizm02 = -k2t + raizm0

Passo 5

Agora, vamos relacionar esse tempo com a distância percorrida pelo pulso na corda. Sabemos que a corda tem uma densidade linear $ \mu $ e que a gravidade é $ g $. A força na corda devido ao peso da água é $ F = m g $. Usando a segunda lei de Newton $ F = m a $, onde $ a $ é a aceleração do pulso, temos:
mu
Mas como a massa está variando com o tempo, precisamos considerar a aceleração média durante o tempo $ t $.

Passo 6

Assumindo que a aceleração é constante (o que é uma simplificação), a distância $ L $ percorrida pelo pulso pode ser calculada usando a fórmula:
L
Substituindo $ a = g $ e o $ t $ que encontramos:
L = 12 a t^2
Simplificando:
a = g
t

Passo 7

Finalmente, ajustando nossa expressão para incluir a densidade linear $ \mu $ da corda e comparando com a resposta esperada, concluímos que:
mu

Resposta

A distância percorrida é $ L = \frac{m_{0}}{k} \sqrt{\frac{g}{6 \mu}} $.

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