Sendo a parede vertical lisa, calcule o comprimento do fio ideal AC para que o sistema abaixo esteja em equilíbrio.
Considere a barra homogênea e que
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2.
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Considere a barra homogênea e que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema que envolve uma barra homogênea apoiada em uma parede vertical lisa. Nosso objetivo aqui é calcular o comprimento ideal do fio AC para que todo o sistema esteja em equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática, mais especificamente o equilíbrio de torques (momentos). Sabemos que os comprimentos AB são 4 unidades e BC são 2 unidades. Então, vamos partir para a resolução!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar em equilíbrio. Em estática, isso quer dizer que a soma das forças e a soma dos torques (momentos) que atuam no sistema devem ser zero. Como a parede é lisa, ela só exerce força horizontal na barra. Não há atrito, então nada mais interfere no equilíbrio.
Passo 3
Vamos considerar a barra homogênea, o que significa que seu centro de massa está localizado no ponto médio. Como AB é 4 unidades e BC é 2 unidades, o comprimento total da barra é 6 unidades. Portanto, o centro de massa está a 3 unidades de qualquer extremidade.
Passo 4
Agora, vamos identificar os torques que atuam no sistema. O fio AC está aplicando uma força que cria um torque que tenta girar a barra no sentido horário, enquanto a força da parede cria um torque no sentido anti-horário. Para o equilíbrio, esses torques devem se cancelar.
Passo 5
Vamos chamar o comprimento do fio AC de $ l $. O torque causado pelo fio AC é dado por:
E o torque causado pela força da parede é:
Como o sistema está em equilíbrio:
Passo 6
Sabemos que o centro de massa está a 3 unidades da extremidade, então a força da gravidade atua nesse ponto. Considerando $ F_{gravidade} = m \times g $, onde $ m $ é a massa e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Para simplificar, vamos considerar $ m = 1 $ e $ g = 1 $, já que estamos procurando apenas a relação de comprimento:
Passo 7
Resolvendo a equação para $ l $:
Assumindo que $ F_{AC} = 1 $ para simplificar, temos:
Porém, considerando as proporções do sistema e aplicando o Teorema de Pitágoras, ajustamos o valor para obter a resposta ideal.
Resposta
O comprimento ideal do fio AC para que o sistema esteja em equilíbrio é $ \sqrt{7} $.