u=(0,-8,2) pode ser escrito como combinação linear de v=(2,0,3) e t=(1,2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o vetor u = (0, -8, 2) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v = (2, 0, 3) e t = (1, 2, 1). Isso envolve o conteúdo de combinação linear na matéria de álgebra linear. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores e encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar números (vamos chamar de a e b) tais que:
a cdot v + b cdot t = u
Isso quer dizer que:
a cdot (2, 0, 3) + b cdot (1, 2, 1) = (0, -8, 2)
Vamos multiplicar os coeficientes pelos vetores:
(2a, 0a, 3a) + (b, 2b, b) = (0, -8, 2)
Agora, somamos as componentes correspondentes:
(2a + b, 0a + 2b, 3a + b) = (0, -8, 2)

Passo 3

Agora, igualamos as componentes de cada lado para formar um sistema de equações:
  1. 2a + b = 0
  2. 2b = -8
  3. 3a + b = 2
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela segunda equação, que é mais simples:
Da equação 2:
2b = -8 Rightarrow b = -82 Rightarrow b = -4
Agora que sabemos que b = -4, substituímos esse valor na equação 1:
2a + (-4) = 0 Rightarrow 2a = 4 Rightarrow a = 2
Para verificar, podemos substituir a = 2 e b = -4 na equação 3:
3(2) + (-4) = 6 - 4 = 2
Isso confirma que nossos valores estão corretos.

Resposta

Sim, o vetor u = (0, -8, 2) pode ser escrito como combinação linear dos vetores v = (2, 0, 3) e t = (1, 2, 1) com os coeficientes a = 2 e b = -4. Assim:
u = 2v - 4t

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