Calcule a norma de f in C([0,1], R) na norma dada por
|h|=raizintegral0^1 h(t)^2 d t
f(t)=3 t^2+1

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a norma de uma função |h| = raizintegral0^1 h(t)^2 , dt no espaço das funções contínuas de para . A norma que vamos usar aqui é definida por:
Basicamente, isso significa que vamos integrar o quadrado da função de 0 a 1 e depois tirar a raiz quadrada desse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função |f| = raizintegral0^1 (3t^2 + 1)^2 , dt na expressão da norma. Então temos:
Agora, precisamos expandir o quadrado da função dentro da integral.

Passo 3

Vamos expandir (3t^2 + 1)^2 = (3t^2)^2 + 2 cdot 3t^2 cdot 1 + 1^2 = 9t^4 + 6t^2 + 1 :
|f| = raizintegral0^1 (9t^4 + 6t^2 + 1) , dt
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo por termo:
integral0^1 9t^4 , dt = 9 cdot [t^55]0^1 = 9 cdot (15 - 0) = 95
integral0^1 6t^2 , dt = 6 cdot [t^33]0^1 = 6 cdot (13 - 0) = 2
integral0^1 1 , dt = [t]0^1 = 1 - 0 = 1

Passo 5

Agora, somamos todos esses resultados:
95 + 2 + 1 = 95 + 105 + 55 = 245
Então, a integral completa é .

Passo 6

Por fim, tiramos a raiz quadrada desse valor para encontrar a norma:
|f| = raiz245 = raiz24raiz5 = 2raiz6raiz5 = 2raiz305
Simplificando, chegamos à expressão final.

Resposta

A norma de |f| = 2raiz305 na norma dada é:

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