Seja V=F^2. Então calcule [(6,2)]alpha e[(x, y)]alpha, onde
(a) alpha=(2,1),(1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular as coordenadas dos vetores (6,2) e (x, y) em relação à base alpha = (2,1), (1,-1). Isso é parte de Álgebra Linear, onde trabalhamos com mudanças de base e representação de vetores em diferentes sistemas de coordenadas. Pra resolver isso, vamos precisar usar a definição de coordenadas em uma base e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular [(6,2)]alpha. Isso quer dizer que queremos encontrar os escalares a e b tais que:
(6,2) = a(2,1) + b(1,-1)
Ou seja, queremos expressar o vetor (6,2) como uma combinação linear dos vetores que formam a base alpha.

Passo 3

Vamos montar as equações a partir da combinação linear:
2a + 1b = 6 1a - 1b = 2
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas que podemos resolver para encontrar os valores de a e b.

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: a - b = 2, então podemos isolar a: a = b + 2.
Substituindo na primeira equação:
2(b + 2) + b = 6
2b + 4 + b = 6
3b + 4 = 6
3b = 2
b = 23
Agora, substituindo b de volta para encontrar a:
a = 23 + 2 = 23 + 63 = 83

Resposta

Portanto, as coordenadas de (6,2) na base alpha são [(6,2)]alpha = ( 83, 23 ).

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