(a) Calcule o número de intervalos necessários para se calcular a integral da função f(x)=cos (x2)-x^5 dada no intervalor entre [-1,1]. usando a Primeira Regra de Simpson com erro menor que 10^-6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular quantos intervalos vamos precisar usar para aplicar a Primeira Regra de Simpson na integral da função no intervalo de , garantindo que o erro na aproximação seja menor que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo numérico, especificamente a Regra de Simpson e a análise do erro associada a ela.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do erro na Regra de Simpson. O erro E <= (b - a)^5180 , n^4 cdot maxx in [a, b] |f^(4)(x)| pode ser estimado pela expressão:
Aqui, representa a quarta derivada da função , é o intervalo de integração, e é o número de intervalos que queremos determinar.

Passo 3

Vamos calcular a quarta derivada da nossa função f'(x) = -12 sin(x2) - 5x^4 .
Primeiro, derivamos uma vez:
f''(x) = -14 cos(x2) - 20x^3
Segunda derivada:
f'''(x) = 18 sin(x2) - 60x^2
Terceira derivada:
f''''(x) = 116 cos(x2) - 120x
Quarta derivada:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo .
Vamos analisar cada termo:
  1. : O cosseno varia entre -1 e 1, então esse termo varia entre e .
  2. : No intervalo , varia de -1 a 1, então esse termo varia de -120 a 120.
Portanto, o valor absoluto máximo de será aproximadamente . Para simplificar, podemos usar como uma estimativa conservadora.

Passo 5

Agora vamos usar a fórmula do erro e resolver para (1 - (-1))^5180 , n^4 cdot 121 < 10^-6 :
2^5180 , n^4 cdot 121 < 10^-6
Simplificando:
32 cdot 121180 , n^4 < 10^-6
3872180 , n^4 < 10^-6
3872180 times 10^-6 < n^4
38720.00018 < n^4
21,511,111.11 < n^4
n > raiz[4]21,511,111.11 approx 46.3
Agora, tiramos a raiz quarta:
n = 48
Como o número de intervalos precisa ser par na Regra de Simpson, arredondamos para cima para o próximo número par:

Resposta

Serão necessários 48 intervalos para calcular a integral usando a Primeira Regra de Simpson com erro menor que .

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