(a) Calcule o número de intervalos necessários para se calcular a integral da função
dada no intervalor entre
. usando a Primeira Regra de Simpson com erro menor que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular quantos intervalos vamos precisar usar para aplicar a Primeira Regra de Simpson na integral da função
no intervalo de
, garantindo que o erro na aproximação seja menor que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo numérico, especificamente a Regra de Simpson e a análise do erro associada a ela.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do erro na Regra de Simpson. O erro
pode ser estimado pela expressão:
Aqui,
representa a quarta derivada da função
,
é o intervalo de integração, e
é o número de intervalos que queremos determinar.
Passo 3
Vamos calcular a quarta derivada da nossa função
.
Primeiro, derivamos uma vez:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de
no intervalo
.
Vamos analisar cada termo:
-
: O cosseno varia entre -1 e 1, então esse termo varia entre e . -
: No intervalo , varia de -1 a 1, então esse termo varia de -120 a 120.
Portanto, o valor absoluto máximo de
será aproximadamente
. Para simplificar, podemos usar
como uma estimativa conservadora.
Passo 5
Agora vamos usar a fórmula do erro e resolver para
:
Simplificando:
Agora, tiramos a raiz quarta:
Como o número de intervalos
precisa ser par na Regra de Simpson, arredondamos para cima para o próximo número par:
Resposta
Serão necessários 48 intervalos para calcular a integral usando a Primeira Regra de Simpson com erro menor que
.