Eincontre a raiz da equação f(x)=x^3+0,82 x^2-12,45 x+4,21 utilizando o método da bissecção no intervalo entre |0,1|. Considere o erro da raiz < que 0,08 ou no máximo 6 iteraçòes. Utilize precisão de 3 casas decimais.

Passo 1

Vamos resolver a equação para encontrar uma raiz usando o método da bissecção no intervalo entre 0 e 1. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Precisamos verificar que a função muda de sinal no intervalo escolhido e então aplicar o método até que a precisão desejada seja alcançada ou o número máximo de iterações seja atingido.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se há uma mudança de sinal no intervalo [0, 1]. Calculamos f(0) = 0^3 + 0,82 times 0^2 - 12,45 times 0 + 4,21 = 4,21 e f(1) = 1^3 + 0,82 times 1^2 - 12,45 times 1 + 4,21 = 1 + 0,82 - 12,45 + 4,21 = -6,42 :
Como é positivo e é negativo, há pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1].

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O método funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Repetiremos esse processo até atingir a precisão desejada ou o número máximo de iterações.

Passo 4

Iteração 1:
  • Intervalo atual: [0, 1]
  • Ponto médio: f(0,5) = (0,5)^3 + 0,82 times (0,5)^2 - 12,45 times 0,5 + 4,21 = 0,125 + 0,205 - 6,225 + 4,21 = -1,685
  • Valor da função em 0,5:
  • Como , a raiz está no intervalo [0, 0,5].

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo atual: [0, 0,5]
  • Ponto médio: f(0,25) = (0,25)^3 + 0,82 times (0,25)^2 - 12,45 times 0,25 + 4,21 = 0,015625 + 0,05125 - 3,1125 + 4,21 = 1,164375
  • Valor da função em 0,25:
  • Como , a raiz está no intervalo [0,25, 0,5].

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo atual: [0,25, 0,5]
  • Ponto médio: f(0,375) = (0,375)^3 + 0,82 times (0,375)^2 - 12,45 times 0,375 + 4,21 = 0,052734375 + 0,1153125 - 4,66875 + 4,21 = -0,290703125
  • Valor da função em 0,375:
  • Como , a raiz está no intervalo [0,25, 0,375].

Passo 7

Iteração 4:
  • Intervalo atual: [0,25, 0,375]
  • Ponto médio: f(0,3125) = (0,3125)^3 + 0,82 times (0,3125)^2 - 12,45 times 0,3125 + 4,21 = 0,0302734375 + 0,080078125 - 3,890625 + 4,21 = 0,429296875
  • Valor da função em 0,3125:
  • Como , a raiz está no intervalo [0,3125, 0,375].

Passo 8

Iteração 5:
  • Intervalo atual: [0,3125, 0,375]
  • Ponto médio: f(0,34375) = (0,34375)^3 + 0,82 times (0,34375)^2 - 12,45 times 0,34375 + 4,21 = 0,0401611331 + 0,09609375 - 4,2765625 + 4,21 = -0,9303086161
  • Valor da função em 0,34375:
  • Como , a raiz está no intervalo [0,3125, 0,34375].

Passo 9

Iteração 6:
  • Intervalo atual: [0,3125, 0,34375]
  • Ponto médio: f(0,328125) = (0,328125)^3 + 0,82 times (0,328125)^2 - 12,45 times 0,328125 + 4,21 = 0,0353393555 + 0,0881738281 - 4,0878125 + 4,21 = 0,2457006836
  • Valor da função em 0,328125:
  • Como , a raiz está no intervalo [0,328125, 0,34375].

Resposta

Após 6 iterações, a raiz aproximada da equação no intervalo [0,1] é aproximadamente .

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