Calcule , sendo , é orientada para o interior de S é a superfície esférica ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de fluxo , onde . A superfície é a esfera , e a orientação do vetor normal é para o interior da esfera. Vamos usar o conteúdo do cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver este problema.

Passo 2

Vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência desse campo vetorial. A fórmula do teorema é:
Aqui, é o volume dentro da esfera .

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a divergência do vetor . A divergência é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume da divergência sobre a esfera de raio 1. Ou seja:
Sabemos que, em coordenadas esféricas, , e o volume da esfera é de raio 1. Portanto, substituímos:

Passo 5

Calculando a integral em coordenadas esféricas, onde :
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :
E, finalmente, em relação a :

Passo 7

Multiplicando todos os resultados das integrais:

Resposta

A integral de fluxo é .

Exercícios relacionados

Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde a região entre as esferas e de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.
Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: .
Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície esférica de raio , centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.
Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que