Calcule
, sendo
,
é orientada para o interior de
S é a superfície esférica
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de fluxo
, onde
. A superfície
é a esfera
, e a orientação do vetor normal
é para o interior da esfera. Vamos usar o conteúdo do cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver este problema.
Passo 2
Vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência desse campo vetorial. A fórmula do teorema é:
Aqui,
é o volume dentro da esfera
.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a divergência do vetor
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume da divergência sobre a esfera de raio 1. Ou seja:
Sabemos que, em coordenadas esféricas,
, e o volume da esfera é de raio 1. Portanto, substituímos:
Passo 5
Calculando a integral em coordenadas esféricas, onde
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
E, finalmente, em relação a
:
Passo 7
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Resposta
A integral de fluxo é
.
Exercícios relacionados
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
a região entre as esferas
e
de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.
Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem:
.
Seja
. Calcule
com
a normal exterior a
, sendo: S uma superfície esférica de raio
, centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.
Seja
um campo vetorial constante e não nulo em
e seja uma função a valores reais
. Definimos
. Mostre que