Calcule oiintS u cdot d S, sendo u=x^3 i+y^3 j+z^3 k, n é orientada para o interior de S e S é a superfície esférica x^2+y^2+z^2=1;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de fluxo , onde . A superfície é a esfera , e a orientação do vetor normal é para o interior da esfera. Vamos usar o conteúdo do cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver este problema.

Passo 2

Vamos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral de volume da divergência desse campo vetorial. A fórmula do teorema é:
oiintS u cdot d S = integral triplaV nabla cdot u , dV
Aqui, é o volume dentro da esfera .

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a divergência do vetor nabla cdot u = partialpartial x(x^3) + partialpartial y(y^3) + partialpartial z(z^3) . A divergência é dada por:
partialpartial x(x^3) = 3x^2, partialpartial y(y^3) = 3y^2, partialpartial z(z^3) = 3z^2
Calculando cada derivada parcial:
nabla cdot u = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume da divergência sobre a esfera de raio 1. Ou seja:
integral triplaV 3(x^2 + y^2 + z^2) , dV
Sabemos que, em coordenadas esféricas, 3 integral triplaV r^2 , dV , e o volume da esfera é de raio 1. Portanto, substituímos:

Passo 5

Calculando a integral em coordenadas esféricas, onde 3 integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^2 cdot r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi = 3 integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^4 sin theta , dr , dtheta , dphi :
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a integral0^pi sin theta , dtheta = [ -cos theta ]0^pi = -cos pi + cos 0 = 2 :
integral0^2pi dphi = 2pi
E, finalmente, em relação a :

Passo 7

Multiplicando todos os resultados das integrais:
3 cdot 15 cdot 2 cdot 2pi = 12pi5

Resposta

A integral de fluxo é .

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