Seja
. Calcule
com
a normal exterior a
, sendo: S uma superfície esférica de raio
, centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor
, onde
e
. Precisamos calcular o fluxo da vector através de uma superfície esférica
de raio
, centrada na origem, isto é, calcular a integral de superfície
. Além disso, devemos explicar por que o Teorema de Gauss não se aplica neste caso. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência).
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor normal
. Em uma esfera de raio
, o vetor normal em cada ponto da superfície é radial e tem a direção de
. Portanto, podemos escrever
. Como estamos na superfície da esfera,
, então
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Substituindo
e
, temos:
Como
, a expressão simplifica para:
Na superfície da esfera,
, então:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão sobre toda a superfície da esfera:
Sabemos que a integral de
sobre a superfície de uma esfera é a área da esfera, que é
. Portanto:
Resposta
O fluxo da vector
através da superfície esférica
é
. O Teorema de Gauss não se aplica neste caso porque o campo
possui uma singularidade na origem (ponto onde
), o que faz com que a divergência não seja bem definida nesse ponto.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
,
é orientada para o interior de
S é a superfície esférica
;
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
a região entre as esferas
e
de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.
Seja
um campo vetorial constante e não nulo em
e seja uma função a valores reais
. Definimos
. Mostre que
Se
é a região interior do cilindro
, entre os planos
e
, calcule
, sendo
a normal exterior a
.