Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície esférica de raio , centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor , onde e . Precisamos calcular o fluxo da vector através de uma superfície esférica de raio , centrada na origem, isto é, calcular a integral de superfície . Além disso, devemos explicar por que o Teorema de Gauss não se aplica neste caso. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência).

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor normal . Em uma esfera de raio , o vetor normal em cada ponto da superfície é radial e tem a direção de . Portanto, podemos escrever . Como estamos na superfície da esfera, , então .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo e , temos:
Como , a expressão simplifica para:
Na superfície da esfera, , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão sobre toda a superfície da esfera:
Sabemos que a integral de sobre a superfície de uma esfera é a área da esfera, que é . Portanto:

Resposta

O fluxo da vector através da superfície esférica é . O Teorema de Gauss não se aplica neste caso porque o campo possui uma singularidade na origem (ponto onde ), o que faz com que a divergência não seja bem definida nesse ponto.

Exercícios relacionados

Calcule , sendo , é orientada para o interior de S é a superfície esférica ;
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde a região entre as esferas e de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.
Seja um campo vetorial constante e não nulo em e seja uma função a valores reais . Definimos . Mostre que
Se é a região interior do cilindro , entre os planos e , calcule , sendo a normal exterior a .