Seja u=rr^3, r=(x, y, z), r=|r|. Calcule oiintS u cdot d S com n a normal exterior a S, sendo: S uma superfície esférica de raio a, centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor u = rr^3, onde r = (x, y, z) e r = |r|. Precisamos calcular o fluxo da vector através de uma superfície esférica S de raio a, centrada na origem, isto é, calcular a integral de superfície oiintS u cdot d S. Além disso, devemos explicar por que o Teorema de Gauss não se aplica neste caso. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície e o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência).

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor normal dS. Em uma esfera de raio a, o vetor normal em cada ponto da superfície é radial e tem a direção de r. Portanto, podemos escrever dS = n , dS = rr , dS. Como estamos na superfície da esfera, r = a, então dS = ra , dS.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot dS. Substituindo u = rr^3 e dS = ra , dS, temos:
u cdot dS = ( rr^3 ) cdot ( ra , dS ) = r cdot ra, r^3 , dS
Como r cdot r = r^2, a expressão simplifica para:
r^2a, r^3 , dS = 1a, r , dS
Na superfície da esfera, r = a, então:
1a cdot a , dS = 1a^2 , dS

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão sobre toda a superfície da esfera:
oiintS u cdot dS = 1a^2 oiintS dS
Sabemos que a integral de dS sobre a superfície de uma esfera é a área da esfera, que é 4pi a^2. Portanto:
1a^2 cdot 4pi a^2 = 4pi

Resposta

O fluxo da vector u através da superfície esférica S é 4pi. O Teorema de Gauss não se aplica neste caso porque o campo u possui uma singularidade na origem (ponto onde r = 0), o que faz com que a divergência não seja bem definida nesse ponto.

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