Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teste da Integral e descobrir se a série
converge ou diverge. A gente vai precisar entender como funciona o Teste da Integral e aplicar ele nessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Para isso, a função que define os termos da série deve ser positiva, contínua e decrescente para todo
maior que algum valor
.
Passo 3
Vamos definir uma função contínua
que corresponde aos termos da série:
Precisamos verificar se
é positiva, contínua e decrescente para
. Claramente,
é positiva e contínua para
. Agora, vamos ver se ela é decrescente. Observando o comportamento dos termos, conforme
aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador, então
é decrescente.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria de
de 1 a
:
Para simplificar, fazemos uma substituição. Observe que para grandes valores de
,
é aproximadamente igual a
, então podemos aproximar a integral por:
Passo 5
Integrando cada termo:
Então, a integral fica:
Avaliação nos limites:
Resposta
A integral diverge, então pela Integral Test, a série
também diverge.
Exercícios relacionados
Determine se a série convergente ou divergente.
e)
e)
Determine se a série convergente ou divergente.
a)
a)
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
a região entre as esferas
e
de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.
Calcule
, sendo
,
é orientada para o interior de
S é a superfície esférica
;