Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teste da Integral e descobrir se a série converge ou diverge. A gente vai precisar entender como funciona o Teste da Integral e aplicar ele nessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Para isso, a função que define os termos da série deve ser positiva, contínua e decrescente para todo maior que algum valor .

Passo 3

Vamos definir uma função contínua que corresponde aos termos da série:
Precisamos verificar se é positiva, contínua e decrescente para . Claramente, é positiva e contínua para . Agora, vamos ver se ela é decrescente. Observando o comportamento dos termos, conforme aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador, então é decrescente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria de de 1 a :
Para simplificar, fazemos uma substituição. Observe que para grandes valores de , é aproximadamente igual a , então podemos aproximar a integral por:

Passo 5

Integrando cada termo:
Então, a integral fica:
Avaliação nos limites:

Resposta

A integral diverge, então pela Integral Test, a série também diverge.

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Determine se a série convergente ou divergente.
e)
Determine se a série convergente ou divergente.
a)
Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde a região entre as esferas e de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.
Calcule , sendo , é orientada para o interior de S é a superfície esférica ;