Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty 2 n^2+3 nraiz5+n^5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teste da Integral e descobrir se a série converge ou diverge. A gente vai precisar entender como funciona o Teste da Integral e aplicar ele nessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Para isso, a função que define os termos da série deve ser positiva, contínua e decrescente para todo maior que algum valor .

Passo 3

Vamos definir uma função contínua f(x) = 2 x^2 + 3 xraiz5 + x^5 que corresponde aos termos da série:
Precisamos verificar se é positiva, contínua e decrescente para . Claramente, é positiva e contínua para . Agora, vamos ver se ela é decrescente. Observando o comportamento dos termos, conforme aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador, então é decrescente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Calculamos a integral imprópria de integral1^+infty 2 x^2 + 3 xraiz5 + x^5 , dx de 1 a integral1^+infty 2 x^2 + 3 xx^5/2 , dx = integral1^+infty (2 x^2 x^-5/2 + 3 x x^-5/2) dx = integral1^+infty (2 x^-1/2 + 3 x^-3/2) dx :
Para simplificar, fazemos uma substituição. Observe que para grandes valores de , é aproximadamente igual a , então podemos aproximar a integral por:

Passo 5

Integrando cada termo:
integral 2 x^-1/2 , dx = 4 x^1/2 integral 3 x^-3/2 , dx = -6 x^-1/2
Então, a integral fica:
[4 x^1/2 - 6 x^-1/2]1^+infty
Avaliação nos limites:
limb to +infty (4 raizb - 6raizb) - (4 raiz1 - 6raiz1) = limb to +infty 4 raizb - 0 - (4 - 6) = +infty - (-2) = +infty

Resposta

A integral diverge, então pela Integral Test, a série também diverge.

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