Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para , onde a região entre as esferas e de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para verificar o Teorema de Gauss calculando duas integrais para o campo vetorial , onde , , e é a região entre as esferas e de raios 1 e 2, respectivamente, centradas na origem. Vamos precisar entender o Teorema de Gauss, calcular a integral de fluxo sobre as superfícies e a integral da divergência no volume.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada é igual à integral dupla da divergência de sobre o volume limitado por :
Isso significa que podemos verificar o teorema calculando as duas integrais separadamente e vendo se são iguais.

Passo 3

Vamos começar calculando a divergência do campo vetorial . A divergência em coordenadas cartesianas é dada por:
Onde , , e , com .

Passo 4

Calculando cada derivada:
Similarmente para e . Somando tudo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre o volume :
Isso significa que a integral da divergência é zero.

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a integral de fluxo do campo sobre as superfícies e .
Para uma esfera de raio centrada na origem, o vetor normal é radial, ou seja, . Então, o fluxo através de uma esfera é:
Para a esfera de raio , , então:

Passo 7

Como temos duas superfícies, com raio 1 e com raio 2, o fluxo total será:
O sinal negativo ocorre porque a orientação de para é interna à região .

Resposta

A verificação do Teorema de Gauss para o campo dado resulta em ambos os lados das igualdades sendo iguais a zero, portanto, o Teorema de Gauss é verificado neste caso.

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Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem: .
Determine se a série convergente ou divergente.
e)
Calcule , sendo , é orientada para o interior de S é a superfície esférica ;
Seja . Calcule com a normal exterior a , sendo: S uma superfície esférica de raio , centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.