Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
a região entre as esferas
e
de raios 1 e 2 , respectivamente, centradas na origem.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para verificar o Teorema de Gauss calculando duas integrais para o campo vetorial
, onde
,
, e
é a região entre as esferas
e
de raios 1 e 2, respectivamente, centradas na origem. Vamos precisar entender o Teorema de Gauss, calcular a integral de fluxo sobre as superfícies e a integral da divergência no volume.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através da superfície fechada
é igual à integral dupla da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Isso significa que podemos verificar o teorema calculando as duas integrais separadamente e vendo se são iguais.
Passo 3
Vamos começar calculando a divergência do campo vetorial
. A divergência em coordenadas cartesianas é dada por:
Onde
,
, e
, com
.
Passo 4
Calculando cada derivada:
Similarmente para
e
. Somando tudo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre o volume
:
Isso significa que a integral da divergência é zero.
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a integral de fluxo do campo
sobre as superfícies
e
.
Para uma esfera de raio
centrada na origem, o vetor normal
é radial, ou seja,
. Então, o fluxo através de uma esfera é:
Para a esfera de raio
,
, então:
Passo 7
Como temos duas superfícies,
com raio 1 e
com raio 2, o fluxo total será:
O sinal negativo ocorre porque a orientação de
para
é interna à região
.
Resposta
A verificação do Teorema de Gauss para o campo dado resulta em ambos os lados das igualdades sendo iguais a zero, portanto, o Teorema de Gauss é verificado neste caso.
Exercícios relacionados
Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem:
.
Determine se a série convergente ou divergente.
e)
e)
Calcule
, sendo
,
é orientada para o interior de
S é a superfície esférica
;
Seja
. Calcule
com
a normal exterior a
, sendo: S uma superfície esférica de raio
, centrada na origem. Explique por que o teorema de Gauss não se aplica neste caso.