Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que envolve calcular uma integral dupla. O enunciado é:
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar de como calcular integrais duplas, que são integrais onde a gente integra em duas variáveis diferentes, nesse caso e . Então, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a ordem das integrais. A integral interna é em relação a , de a , e a integral externa é em relação a , de a . A função que estamos integrando é .

Passo 3

Como a função pode ser separada em duas partes, uma que depende só de e outra que depende só de , podemos separar as integrais. Isso é possível porque a multiplicação se dá entre termos que dependem de variáveis diferentes. Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Sabemos que a integral de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituindo o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral de em relação a :
Portanto:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, juntando tudo, temos:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja a regiāo do plano delimitada por e pelo eixo . Determine a integral dupla .
Considere uma barra de com 40 cm de comprimento cuja distribuição de temperatura inicial
é
. Suponha que e que ambas as extremidades da barra estão isoladas.
(a) Encontre a temperatura .
Esboçe o sólido cujo volume é dado pela integral
Calcule
onde é a curva de intersecão do plano com o cilindro , e orientada no sentido positivo, quando vista de cima.