integral0^pi / 3 integral0^1 / 2 tan x1+y^2 d y d x

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo que envolve calcular uma integral dupla. O enunciado é:
integral0^pi / 3 integral0^1 / 2 tan x1+y^2 , dy , dx
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar de como calcular integrais duplas, que são integrais onde a gente integra em duas variáveis diferentes, nesse caso e . Então, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a ordem das integrais. A integral interna é em relação a , de a , e a integral externa é em relação a , de a . A função que estamos integrando é .

Passo 3

Como a função integral0^pi / 3 tan x ( integral0^1 / 2 11 + y^2 , dy ) dx pode ser separada em duas partes, uma que depende só de e outra que depende só de , podemos separar as integrais. Isso é possível porque a multiplicação se dá entre termos que dependem de variáveis diferentes. Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 / 2 11 + y^2 , dy
Sabemos que a integral de arctan y |0^1/2 = arctan ( 12 ) - arctan(0) = arctan ( 12 ) - 0 = arctan ( 12 ) em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituindo o resultado da integral interna de volta na integral externa:
integral0^pi / 3 tan x cdot arctan ( 12 ) , dx
Como arctan ( 12 ) integral0^pi / 3 tan x , dx é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral de integral tan x , dx = -ln |cos x| + C em relação a integral0^pi / 3 tan x , dx = -ln |cos x| |0^pi/3 = -ln ( cos ( pi3 ) ) + ln (cos 0) :
-ln ( 12 ) + ln (1) = -ln ( 12 ) + 0 = ln 2
Portanto:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, juntando tudo, temos:
arctan ( 12 ) cdot ln 2

Resposta

arctan ( 12 ) cdot ln 2

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