Calcule oint F cdot d r, onde F(x, y, z)=-y^2 i+x j+z^2 k e C é a curva da interseção do plano y+z=2 com o cilindro x^2+y^2=1. Oriente C no sentido anti-horário quando observado de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é a interseção do plano com o cilindro . A orientação da curva é no sentido anti-horário visto de cima. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva z = 2 - y . Ela é a interseção entre o plano x^2 + y^2 = 1 e o cilindro . Para parametrizar essa curva, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras.
Vamos resolver o plano para :
Agora, substituímos essa expressão na equação do cilindro:
Assim, a curva está no espaço tridimensional, mas podemos parametrizá-la usando apenas e , já que depende de .

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro circular, uma boa ideia é usar coordenadas polares para parametrizar x = cos theta e y = sin theta . Vamos definir:
r(theta) = cos theta , i + sin theta , j + (2 - sin theta) , k
onde varia de a para percorrer toda a circunferência do cilindro. Com isso, a parametrização completa da curva fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dr = drdtheta dtheta = (-sin theta , i + cos theta , j - cos theta , k) dtheta , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos substituir F(x, y, z) = -y^2 i + x j + z^2 k na parametrização. Sabemos que:
F(theta) = -sin^2 theta , i + cos theta , j + (2 - sin theta)^2 k
Substituindo os valores de , e da parametrização:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr = (-sin^2 theta)(-sin theta) + (cos theta)(cos theta) + (2 - sin theta)^2(-cos theta) :
= sin^3 theta + cos^2 theta - cos theta (2 - sin theta)^2

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão de oint F cdot dr = integral0^2pi ( sin^3 theta + cos^2 theta - cos theta (2 - sin theta)^2 ) dtheta a :
Vamos simplificar e calcular essa integral termo a termo.

Passo 8

Vamos expandir o termo (2 - sin theta)^2 = 4 - 4sin theta + sin^2 theta :
oint F cdot dr = integral0^2pi ( sin^3 theta + cos^2 theta - cos theta (4 - 4sin theta + sin^2 theta) ) dtheta
Substituindo de volta na integral:
= integral0^2pi ( sin^3 theta + cos^2 theta - 4cos theta + 4cos theta sin theta - cos theta sin^2 theta ) dtheta

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. (por simetria)

Passo 10

Somando todos os resultados:
0 + pi + 0 + 0 + 0 = pi

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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