Calcule , onde e é a curva da interseção do plano com o cilindro . Oriente no sentido anti-horário quando observado de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é a interseção do plano com o cilindro . A orientação da curva é no sentido anti-horário visto de cima. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a curva . Ela é a interseção entre o plano e o cilindro . Para parametrizar essa curva, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras.
Vamos resolver o plano para :
Agora, substituímos essa expressão na equação do cilindro:
Assim, a curva está no espaço tridimensional, mas podemos parametrizá-la usando apenas e , já que depende de .

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro circular, uma boa ideia é usar coordenadas polares para parametrizar e . Vamos definir:
onde varia de a para percorrer toda a circunferência do cilindro. Com isso, a parametrização completa da curva fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos substituir na parametrização. Sabemos que:
Substituindo os valores de , e da parametrização:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão de a :
Vamos simplificar e calcular essa integral termo a termo.

Passo 8

Vamos expandir o termo :
Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. (por simetria)

Passo 10

Somando todos os resultados:

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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Determine se a série convergente ou divergente.
h)
Determine se a série convergente ou divergente.
e)