Calcule
, onde
e
é a curva da interseção do plano
com o cilindro
. Oriente
no sentido anti-horário quando observado de cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
. A orientação da curva é no sentido anti-horário visto de cima. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a curva
. Ela é a interseção entre o plano
e o cilindro
. Para parametrizar essa curva, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras.
Vamos resolver o plano para
:
Agora, substituímos essa expressão na equação do cilindro:
Assim, a curva
está no espaço tridimensional, mas podemos parametrizá-la usando apenas
e
, já que
depende de
.
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro circular, uma boa ideia é usar coordenadas polares para parametrizar
e
. Vamos definir:
onde
varia de
a
para percorrer toda a circunferência do cilindro. Com isso, a parametrização completa da curva
fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir
na parametrização. Sabemos que:
Substituindo os valores de
,
e
da parametrização:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos simplificar e calcular essa integral termo a termo.
Passo 8
Vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-
(por simetria) -
-
-
-
Passo 10
Somando todos os resultados:
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o teorema da Divergência para encontrar o fluxo de
através da superfície
com orientação para fora.
, onde
é a superfície do sólido compreendido por
.
Verifique a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de superfície e a integral tripla. Seja
, onde
é a superfície do cubo limitado pelos planos
.
Determine se a série convergente ou divergente.
h)
h)
Determine se a série convergente ou divergente.
e)
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