Determine se a série convergente ou divergente.
h) suml=1^infty l(l+2)(l+3)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o teste do termo geral, para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral da série:
al = l(l+2)(l+3)^2
Explicando um pouco, o teste do termo geral nos diz que se , então a série diverge. Então, vamos calcular esse limite.

Passo 3

Calculando o limite do termo geral quando liml to infty l(l+2)(l+3)^2 = liml to infty l^2 + 2ll^2 + 6l + 9 vai para o infinito:
= liml to infty 1 + 2l1 + 6l + 9l^2 = 1 + 01 + 0 + 0 = 1
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por :

Passo 4

Como o limite do termo geral é 1, ou seja, diferente de zero:
liml to infty al = 1 neq 0
De acordo com o teste do termo geral, se o limite do termo não for zero, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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