Determine se a série convergente ou divergente.
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de séries alternadas, que são aquelas que têm termos que mudam de sinal. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte não alternada da série, que é . Esse termo vai chamar de .

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar dois pontos:
  1. Se está decrescendo conforme aumenta.
  2. Se o limite de quando tende ao infinito é zero.

Passo 4

Vamos verificar o primeiro ponto: se está decrescendo. Olhando para , conforme aumenta, o numerador cresce mais devagar que o denominador (porque cresce mais rápido que ). Isso significa que está diminuindo à medida que aumenta.

Passo 5

Agora, o segundo ponto: calcular o limite de quando vai para o infinito.
Então, o limite é zero.

Passo 6

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada foram satisfeitos ( é decrescente e o limite é zero), concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Determine se a série convergente ou divergente.
h)
Calcule , onde e é a curva da interseção do plano com o cilindro . Oriente no sentido anti-horário quando observado de cima.
Determine se a série convergente ou divergente.
c)
Determine se a série convergente ou divergente.
i)