Calcule
no percurso fechado
definido por
. Justifique sua resposta
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de contorno
, onde
é um caminho fechado definido por
. Estamos lidando com integrais de contorno no plano complexo, e para isso, vamos precisar entender conceitos como polos e a fórmula de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está sendo integrada:
. Essa função tem um ponto especial chamado polo em
. Um polo é um ponto onde a função “explode”, ou seja, tende ao infinito.
Passo 3
O caminho
é definido por
. Isso significa que
é um círculo com centro em
e raio
. Visualizando isso no plano complexo, vemos que o polo
está exatamente no centro desse círculo.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy, que é uma ferramenta poderosa para resolver integrais de contorno envolvendo funções com polos dentro do caminho de integração. A fórmula de Cauchy diz que:
onde
é uma função analítica (ou seja, sem singularidades) dentro e sobre o caminho
, e
é o ponto onde ocorre o polo.
Passo 5
No nosso caso, a função
é simplesmente 1, porque podemos reescrever a função original como
com
. Além disso, o polo
está dentro do caminho
.
Passo 6
Aplicando a Fórmula de Cauchy:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto:
Expresse o valor da função em termos de
:
;
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.