Calcule ointc(1z-2 i) d z no percurso fechado C definido por |z-2 i|=0,5. Justifique sua resposta

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de contorno , onde é um caminho fechado definido por . Estamos lidando com integrais de contorno no plano complexo, e para isso, vamos precisar entender conceitos como polos e a fórmula de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está sendo integrada: . Essa função tem um ponto especial chamado polo em . Um polo é um ponto onde a função “explode”, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

O caminho é definido por . Isso significa que é um círculo com centro em e raio . Visualizando isso no plano complexo, vemos que o polo está exatamente no centro desse círculo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy, que é uma ferramenta poderosa para resolver integrais de contorno envolvendo funções com polos dentro do caminho de integração. A fórmula de Cauchy diz que:
ointC f(z)z - z0 dz = 2pi i cdot f(z0)
onde é uma função analítica (ou seja, sem singularidades) dentro e sobre o caminho , e é o ponto onde ocorre o polo.

Passo 5

No nosso caso, a função é simplesmente 1, porque podemos reescrever a função original como com . Além disso, o polo está dentro do caminho .

Passo 6

Aplicando a Fórmula de Cauchy:
ointC 1z - 2i dz = 2pi i cdot f(2i) = 2pi i cdot 1 = 2pi i

Resposta

O valor da integral é .

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