Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar qual regra de derivação aplicar para a função
, descobrir em que domínio essa função é derivável e escolher um ponto legal para calcular o valor da derivada nesse ponto. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e entender onde a função está bem comportada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a regra de derivação que vamos usar. A função
é uma composição de duas funções:
onde
. Quando temos uma função dentro de outra, usamos a Regra da Cadeia para derivar.
Passo 3
A Regra da Cadeia diz que, se
e
, então a derivada de
em relação a
é:
Vamos calcular cada parte.
Passo 4
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Agora, aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o domínio em que a função
é derivável. A função seno é derivável para todo número real, e
também é derivável para todo
real. Portanto, a composição dessas funções é derivável em todo o conjunto dos números reais.
Passo 6
Vamos escolher um ponto para calcular a derivada. Vamos pegar
, que é um ponto legal e conhecido.
Passo 7
Substituindo
na derivada que encontramos:
Portanto, o valor da derivada no ponto
é
.
Resposta
A derivada da função é
, ela é derivável para todo número real, e no ponto
o valor da derivada é
.