Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto: f(z) = sen(z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar qual regra de derivação aplicar para a função , descobrir em que domínio essa função é derivável e escolher um ponto legal para calcular o valor da derivada nesse ponto. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e entender onde a função está bem comportada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a regra de derivação que vamos usar. A função é uma composição de duas funções: onde . Quando temos uma função dentro de outra, usamos a Regra da Cadeia para derivar.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz que, se e , então a derivada de em relação a é:
Vamos calcular cada parte.

Passo 4

Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Agora, aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o domínio em que a função é derivável. A função seno é derivável para todo número real, e também é derivável para todo real. Portanto, a composição dessas funções é derivável em todo o conjunto dos números reais.

Passo 6

Vamos escolher um ponto para calcular a derivada. Vamos pegar , que é um ponto legal e conhecido.

Passo 7

Substituindo na derivada que encontramos:
Portanto, o valor da derivada no ponto é .

Resposta

A derivada da função é , ela é derivável para todo número real, e no ponto o valor da derivada é .

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