Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
onde o contorno
é o círculo com raio 4, ou seja,
. Para isso, vamos usar o conceito de teorema dos resíduos da análise complexa, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, identificamos os pólos da função
. Os pólos são os valores de
que tornam o denominador zero:
Então, os pólos são
e
.
Passo 3
Agora, verificamos se esses pólos estão dentro do contorno
definido por
. Calculamos a magnitude dos pólos:
Ambos os pólos estão dentro do contorno.
Passo 4
Aplicamos o teorema dos resíduos, que diz que:
onde
são os resíduos da função
nos pólos dentro de
.
Passo 5
Calculamos os resíduos em cada pólo. Para a função
, que tem pólos simples, o resíduo em
é dado por:
Portanto,
e
.
Passo 6
Somamos os resíduos:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
no percurso fechado
definido por
. Justifique sua resposta
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto:
Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.
Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão: