Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
ointC 2 zz^2+3 d z ;: |z|=4

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha ointC 2 zz^2+3 dz onde o contorno C é o círculo com raio 4, ou seja, |z|=4. Para isso, vamos usar o conceito de teorema dos resíduos da análise complexa, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pólos da função 2 zz^2+3. Os pólos são os valores de z que tornam o denominador zero:
z^2 + 3 = 0 Rightarrow z = pm iraiz3
Então, os pólos são z = iraiz3 e z = -iraiz3.

Passo 3

Agora, verificamos se esses pólos estão dentro do contorno C definido por |z|=4. Calculamos a magnitude dos pólos:
|iraiz3| = raiz3 approx 1,732 < 4
Ambos os pólos estão dentro do contorno.

Passo 4

Aplicamos o teorema dos resíduos, que diz que:
ointC f(z) dz = 2pi i cdot sum Res(f, ak)
onde Res(f, ak) são os resíduos da função f nos pólos dentro de C.

Passo 5

Calculamos os resíduos em cada pólo. Para a função 2 zz^2+3, que tem pólos simples, o resíduo em z = a é dado por:
Res(2 zz^2+3, a) = 2a2a = 1
Portanto, Res(2 zz^2+3, iraiz3) = 1 e Res(2 zz^2+3, -iraiz3) = 1.

Passo 6

Somamos os resíduos:
sum Res(f, ak) = 1 + 1 = 2

Resposta

A integral vale 2pi i times 2 = 4pi i.

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