Nos exercícios 2 a 7, calcular a integral indefinida.
integral cos (raizx)raizx sen(raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos é calcular a integral indefinida de em relação a . Essa questão envolve conceitos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão usando substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: . Notamos que temos dentro das funções trigonométricas e também como denominador. Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dx = 2t , dt . Então, sabemos que . Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral cos (raizx)raizx sen(raizx) , dx = integral cos(t)t sen(t) cdot 2t , dt e = 2 integral cos(t) sen(t) , dt na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples: . Para resolver isso, podemos usar uma identidade trigonométrica ou reconhecer que a derivada de é .

Passo 6

Integrando , obtemos:
Onde 2 integral sen(t) cos(t) , dt = sen^2(t) + C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original sen^2(t) + C = sen^2(raizx) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

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