Calcule ointC y d x+2 x d y, com C: x^2+y^2=1, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha ointC y , dx + 2x , dy onde C é o círculo x^2 + y^2 = 1, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o “acúmulo” de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, temos a função y , dx + 2x , dy e queremos somar isso ao redor do círculo unitário.

Passo 3

Para facilitar, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = y e Q = 2x.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (2x)partial x = 2
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
ointC y , dx + 2x , dy = integral duplaD (2 - 1) , dA = integral duplaD 1 , dA

Passo 5

Agora, a integral dupla integral duplaD 1 , dA representa a área da região D delimitada pela curva C. Como C é o círculo unitário x^2 + y^2 = 1, a área A é:
A = pi r^2 = pi times 1^2 = pi

Resposta

pi

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