Calcule
, com
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha
onde
é o círculo
, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela mede o “acúmulo” de uma função ao longo de uma curva. No nosso caso, temos a função
e queremos somar isso ao redor do círculo unitário.
Passo 3
Para facilitar, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, a integral dupla
representa a área da região
delimitada pela curva
. Como
é o círculo unitário
, a área
é: