Seja
. O Teorema de Green pode ser aplicado à
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva
e pergunta se o Teorema de Green pode ser aplicado à integral de linha
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e quais são as condições para usá-lo.
Passo 2
Primeiro, o Teorema de Green é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Basicamente, ele nos permite transformar integrais complicadas ao longo de uma curva em integrais mais fáceis sobre a área interna.
Para aplicar o Teorema de Green, algumas condições devem ser atendidas:
- A curva
deve ser fechada e simples (não se cruzar). - A região interna delimitada por
deve ser simplesmente conexa (sem furos). - As funções envolvidas na integral devem ter derivadas parciais contínuas na região.
Passo 3
Vamos analisar a curva
. Essa é a equação de uma elipse centralizada na origem, o que significa que ela �� fechada e simples. A região interna é simplesmente conexa, pois não há furos dentro da elipse.
Agora, vamos olhar para as funções da integral:
Perceba que ambas as funções têm um denominador
. Isso significa que elas não estão definidas quando
e
, ou seja, no ponto (0,0).
Como a curva
é uma elipse centralizada na origem, o ponto (0,0) está dentro da região delimitada por
. Portanto, as funções
e
não são contínuas em toda a região interna, já que têm uma descontinuidade no ponto (0,0).
Resposta
Não, o Teorema de Green não pode ser aplicado a essa integral porque as funções envolvidas não são contínuas em toda a região delimitada pela curva
devido à descontinuidade no ponto (0,0).