Seja C: y^2+4 x^2=1. O Teorema de Green pode ser aplicado à ointC yx^2+y^2 d x-xx^2+y^2 d y ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma curva e pergunta se o Teorema de Green pode ser aplicado à integral de linha . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e quais são as condições para usá-lo.

Passo 2

Primeiro, o Teorema de Green é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Basicamente, ele nos permite transformar integrais complicadas ao longo de uma curva em integrais mais fáceis sobre a área interna.
Para aplicar o Teorema de Green, algumas condições devem ser atendidas:
  1. A curva deve ser fechada e simples (não se cruzar).
  2. A região interna delimitada por deve ser simplesmente conexa (sem furos).
  3. As funções envolvidas na integral devem ter derivadas parciais contínuas na região.

Passo 3

Vamos analisar a curva . Essa é a equação de uma elipse centralizada na origem, o que significa que ela �� fechada e simples. A região interna é simplesmente conexa, pois não há furos dentro da elipse.
Agora, vamos olhar para as funções da integral:
Perceba que ambas as funções têm um denominador . Isso significa que elas não estão definidas quando e , ou seja, no ponto (0,0).
Como a curva é uma elipse centralizada na origem, o ponto (0,0) está dentro da região delimitada por . Portanto, as funções e não são contínuas em toda a região interna, já que têm uma descontinuidade no ponto (0,0).

Resposta

Não, o Teorema de Green não pode ser aplicado a essa integral porque as funções envolvidas não são contínuas em toda a região delimitada pela curva devido à descontinuidade no ponto (0,0).

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