Calcule:
onde
é parametrizada por
e
sen
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral de linha! A gente precisa calcular a integral:
O caminho
está parametrizado por
e
, onde
varia de
a
. Vamos usar o teorema de Green para resolver isso, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha:
Para aplicar o teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, aplicando o teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que estamos calculando a área da região
limitada pelo caminho
.
Passo 6
Vamos determinar a área de
. Observando a parametrização:
Isso descreve uma elipse deslocada para o ponto
. Os semi-eixos são
na direção do
e
na direção do
. A área de uma elipse é dada por:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule:
onde
é o caminho fechado formado por
e
, no sentido anti-horário;
Seja
Mostre que
é independente do caminho.
Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.
Seja
Calcule a integral
para
, com
, no sentido horário.