Calcule:
onde é parametrizada por e sen , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral de linha! A gente precisa calcular a integral:
O caminho está parametrizado por e , onde varia de a . Vamos usar o teorema de Green para resolver isso, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada por .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha:
Para aplicar o teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicando o teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Então, a integral dupla fica:
Isso significa que estamos calculando a área da região limitada pelo caminho .

Passo 6

Vamos determinar a área de . Observando a parametrização:
Isso descreve uma elipse deslocada para o ponto . Os semi-eixos são na direção do e na direção do . A área de uma elipse é dada por:
Á

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule:
onde é o caminho fechado formado por e , no sentido anti-horário;
Seja
Mostre que é independente do caminho.
Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.
Seja
Calcule a integral para , com , no sentido horário.