Calcule:
ointC 2 arctan yx d x+(ln (x^2+y^2)+x) d y
onde C é parametrizada por x=4+2 cos t e y=4+ sen t, com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral de linha! A gente precisa calcular a integral:
ointC 2 arctan yx , dx + (ln (x^2+y^2) + x ) dy
O caminho C está parametrizado por x = 4 + 2 cos t e y = 4 + sin t, onde t varia de 0 a 2pi. Vamos usar o teorema de Green para resolver isso, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M e N na integral de linha:
M = 2 arctan yx N = ln (x^2+y^2) + x
Para aplicar o teorema de Green, precisamos calcular as derivadas parciais de N em relação a x e de M em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular partial Npartial x:
partial Npartial x = partialpartial x ( ln (x^2+y^2) + x ) = 2xx^2+y^2 + 1
Agora, vamos calcular partial Mpartial y:
partial Mpartial y = partialpartial y ( 2 arctan yx ) = 2xx^2+y^2

Passo 4

Agora, aplicando o teorema de Green, a integral de linha se transforma em uma integral dupla:
ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial Npartial x - partial Mpartial y = ( 2xx^2+y^2 + 1 ) - 2xx^2+y^2 = 1

Passo 5

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 1 , dA
Isso significa que estamos calculando a área da região D limitada pelo caminho C.

Passo 6

Vamos determinar a área de D. Observando a parametrização:
x = 4 + 2 cos t y = 4 + sin t
Isso descreve uma elipse deslocada para o ponto (4, 4). Os semi-eixos são 2 na direção do x e 1 na direção do y. A área de uma elipse é dada por:
Área = pi times semi-eixo maior times semi-eixo menor = pi times 2 times 1 = 2pi Á

Resposta

A integral vale 2pi.

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