Seja
I=integralC(x+3 y+y^10) d x+(3 x+10 x y^9+ln (1+y^2)) d y
Calcule a integral I para C:(x-1)^2+y^24=1, com y >= 0, no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, especificamente a integral , sobre uma curva . A curva é uma elipse definida por e está localizada na região onde . Além disso, vamos percorrer essa curva no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão na integral de linha:
I = integralC (x + 3y + y^10) dx + (3x + 10xy^9 + ln(1 + y^2)) dy
Aqui, podemos notar que temos uma função multiplicada por e uma função multiplicada por .

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde:
  • é a curva fechada (nossa elipse).
  • é a área dentro de .
  • é a derivada parcial de em relação a .
  • é a derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (3x + 10xy^9 + ln(1 + y^2) ) = 3 + 10y^9 + 0 = 3 + 10y^9
partial Ppartial y = partialpartial y (x + 3y + y^10 ) = 0 + 3 + 10y^9 = 3 + 10y^9
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD ( (3 + 10y^9) - (3 + 10y^9) ) dA = integral duplaD 0 , dA = 0

Resposta

Portanto, a integral ao longo da curva é igual a 0.

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