Seja
Calcule a integral
para
, com
, no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, especificamente a integral
, sobre uma curva
. A curva
é uma elipse definida por
e está localizada na região onde
. Além disso, vamos percorrer essa curva no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão na integral de linha:
Aqui, podemos notar que temos uma função
multiplicada por
e uma função
multiplicada por
.
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O Teorema de Green diz que:
Onde:
-
é a curva fechada (nossa elipse). -
é a área dentro de . -
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Resposta
Portanto, a integral
ao longo da curva
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.
Calcule:
onde
é parametrizada por
e
sen
, com
.
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(a)
(a)
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(b)
(b)