Seja
Calcule a integral para , com , no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, especificamente a integral , sobre uma curva . A curva é uma elipse definida por e está localizada na região onde . Além disso, vamos percorrer essa curva no sentido horário. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão na integral de linha:
Aqui, podemos notar que temos uma função multiplicada por e uma função multiplicada por .

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. O Teorema de Green diz que:
Onde:
  • é a curva fechada (nossa elipse).
  • é a área dentro de .
  • é a derivada parcial de em relação a .
  • é a derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:

Resposta

Portanto, a integral ao longo da curva é igual a 0.

Exercícios relacionados

Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.
Calcule:
onde é parametrizada por e sen , com .
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(a)
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(b)