Mostre que
I=integral(0,1)^(2,3)(2 x+y^3) d x+(3 x y^2+4) d y
é independente do caminho e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral
I = integral(0,1)^(2,3) (2x + y^3) dx + (3xy^2 + 4) dy
é independente do caminho e, depois, calcular seu valor. Isso se relaciona à matéria de campos vetoriais conservativos e integrais de linha. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. A integral dada pode ser vista como:
I = integralC P,dx + Q,dy
onde e .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo (isto é, se a integral é independente do caminho), precisamos checar se as derivadas parciais satisfazem:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando partialpartial y(2x + y^3) = 0 + 3y^2 = 3y^2 :
partialpartial x(3xy^2 + 4) = 3y^2 + 0 = 3y^2
Agora calculando :
Como , o campo é conservativo. Isso significa que a integral é independente do caminho.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial partial fpartial x = P = 2x + y^3 partial fpartial y = Q = 3xy^2 + 4 tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando f(x, y) = integral (2x + y^3) dx = x^2 + y^3 x + h(y) em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, vamos derivar partial fpartial y = 3y^2 x + h'(y) = 3xy^2 + 4 em relação a h'(y) = 4 h(y) = 4y + C e igualar a :
Isso implica que:
Onde é uma constante que podemos ignorar.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x^2 + y^3 x + 4y

Passo 9

Para calcular a integral, basta avaliar a função potencial nos pontos inicial e final:
I = f(2, 3) - f(0, 1)

Passo 10

Calculando f(2, 3) = (2)^2 + (3)^3 cdot 2 + 4 cdot 3 = 4 + 54 + 12 = 70 :
f(0, 1) = (0)^2 + (1)^3 cdot 0 + 4 cdot 1 = 0 + 0 + 4 = 4
Calculando :

Resposta

Portanto, a integral vale .

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