Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral
é independente do caminho e, depois, calcular seu valor. Isso se relaciona à matéria de campos vetoriais conservativos e integrais de linha. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. A integral dada pode ser vista como:
onde e .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo (isto é, se a integral é independente do caminho), precisamos checar se as derivadas parciais satisfazem:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Agora calculando :
Como , o campo é conservativo. Isso significa que a integral é independente do caminho.

Passo 5

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 6

Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que:
Onde é uma constante que podemos ignorar.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:

Passo 9

Para calcular a integral, basta avaliar a função potencial nos pontos inicial e final:

Passo 10

Calculando :
Calculando :

Resposta

Portanto, a integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule:
onde é parametrizada por e sen , com .
Calcule:
onde é o caminho fechado formado por e , no sentido anti-horário;
Seja
Calcule a integral para , com , no sentido horário.
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
(a)