Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral
é independente do caminho e, depois, calcular seu valor. Isso se relaciona à matéria de campos vetoriais conservativos e integrais de linha. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. A integral dada pode ser vista como:
onde
e
.
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo (isto é, se a integral é independente do caminho), precisamos checar se as derivadas parciais satisfazem:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Agora calculando
:
Como
, o campo é conservativo. Isso significa que a integral é independente do caminho.
Passo 5
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que:
Onde
é uma constante que podemos ignorar.
Passo 8
Portanto, a função potencial é:
Passo 9
Para calcular a integral, basta avaliar a função potencial nos pontos inicial e final:
Passo 10
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
Portanto, a integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule:
onde
é parametrizada por
e
sen
, com
.
Calcule:
onde
é o caminho fechado formado por
e
, no sentido anti-horário;
Seja
Calcule a integral
para
, com
, no sentido horário.
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
(a)
(a)