Calcule:
onde
é o caminho fechado formado por
e
, no sentido anti-horário;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um caminho fechado
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções
e
na integral, aplicar o Teorema de Green e então calcular a integral dupla resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral dada:
Aqui,
e
. Essas funções correspondem aos coeficientes de
e
na integral de linha.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
Passo 4
O Teorema de Green diz que:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
delimitada por
. Como
é o caminho fechado formado por
,
,
e
, a região
é um quadrado com
e
variando de 0 a 1. Então:
Primeiro integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Multiplicando os resultados:
Resposta
O valor da integral é 1.
Exercícios relacionados
Seja
Mostre que
é independente do caminho.
Calcule
onde
é a fronteira da região
, definida por
orientada no sentido anti-horário.
Calcule:
onde
é parametrizada por
e
sen
, com
.
Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.