Calcule:
onde é o caminho fechado formado por e , no sentido anti-horário;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um caminho fechado . O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções e na integral, aplicar o Teorema de Green e então calcular a integral dupla resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral dada:
Aqui, e . Essas funções correspondem aos coeficientes de e na integral de linha.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:

Passo 4

O Teorema de Green diz que:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região delimitada por . Como é o caminho fechado formado por , , e , a região é um quadrado com e variando de 0 a 1. Então:
Primeiro integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :
Multiplicando os resultados:

Resposta

O valor da integral é 1.

Exercícios relacionados

Seja
Mostre que é independente do caminho.
Calcule
onde é a fronteira da região , definida por
orientada no sentido anti-horário.
Calcule:
onde é parametrizada por e sen , com .
Mostre que
é independente do caminho e calcule-a.