Calcule:
ointC-x^2 y1+x^2 d x+arctan x d y
onde C é o caminho fechado formado por y=0, x=1, y=1 e x=0, no sentido anti-horário;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo de um caminho fechado . O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções e na integral, aplicar o Teorema de Green e então calcular a integral dupla resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral dada:
ointC -x^2 y1+x^2 , dx + arctan x , dy
Aqui, e . Essas funções correspondem aos coeficientes de e na integral de linha.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o Teorema de Green:
partial Qpartial x = ddx (arctan x) = 11+x^2
partial Ppartial y = ddy ( -x^2 y1+x^2 ) = -x^21+x^2

Passo 4

O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 11+x^2 - ( -x^21+x^2 ) = 1 + x^21 + x^2 = 1

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região integral duplaR 1 , dx , dy = integral0^1 integral0^1 1 , dx , dy delimitada por integral0^1 1 , dx = 1 . Como integral0^1 1 , dy = 1 é o caminho fechado formado por 1 times 1 = 1 , , e , a região é um quadrado com e variando de 0 a 1. Então:
Primeiro integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :
Multiplicando os resultados:

Resposta

O valor da integral é 1.

Exercícios relacionados