Calcule

onde é a fronteira de uma região do plano. Em coordenadas polares a região é descrita do seguinte modo:
tais que e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. Aqui, a curva é a borda de uma região no plano, descrita em coordenadas polares. Vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral:
O Teorema de Green diz que:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Para , lembrando que a derivada de é vezes a derivada de :

Passo 4

Subtraindo as derivadas:

Passo 5

Agora, mudamos para coordenadas polares onde , e :
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Definindo os limites da região em coordenadas polares: e . A integral fica:
Primeiro, integraremos em :
Agora, integraremos em :

Resposta

A resposta correta é a opção b. .

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Classifique as afirmações como verdadeira ( ) ou falsa ( ).
( ) O campo vetorial é conservativo.
( ) O campo vetorial pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV
Se é uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então .
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso
A figura mostra a curva com .
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor de posição dado por . Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.