Calcule
ointC arctan (yx) d x+ln (x^2+y^2) d y
onde C é a fronteira de uma região D do plano. Em coordenadas polares a região D é descrita do seguinte modo:
D=(r, theta) tais que 1 <= r <= 2 e 0 <= theta <= pi4
Escolna uma opção:
a. raiz32
b. raiz22
c. 0
d. 1
e. 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. Aqui, a curva é a borda de uma região no plano, descrita em coordenadas polares. Vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) = arctan(yx) e Q(x, y) = ln(x^2 + y^2) na integral:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
O Teorema de Green diz que:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2xx^2 + y^2
Para partial Ppartial y = 11 + (yx)^2 cdot 1x = xx^2 + y^2 , lembrando que a derivada de é vezes a derivada de :

Passo 4

Subtraindo as derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2xx^2 + y^2 - xx^2 + y^2 = xx^2 + y^2

Passo 5

Agora, mudamos para coordenadas polares onde xx^2 + y^2 = r costhetar^2 = costhetar , integral duplaD costhetar cdot r , dr , dtheta = integral duplaD costheta , dr , dtheta e :
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Definindo os limites da região integral0^pi4 integral1^2 costheta , dr , dtheta em coordenadas polares: integral1^2 costheta , dr = costheta (2 - 1) = costheta e integral0^pi4 costheta , dtheta = sintheta |0^pi4 = sin(pi4) - sin(0) = raiz22 - 0 = raiz22 . A integral fica:
Primeiro, integraremos em :
Agora, integraremos em :

Resposta

A resposta correta é a opção b. .

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