Calcule
onde é a fronteira de uma região do plano. Em coordenadas polares a região é descrita do seguinte modo: tais que e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. Aqui, a curva é a borda de uma região no plano, descrita em coordenadas polares. Vamos usar o Teorema de Green, que ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na integral:
O Teorema de Green diz que:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para , lembrando que a derivada de é vezes a derivada de :
Passo 4
Subtraindo as derivadas:
Passo 5
Agora, mudamos para coordenadas polares onde , e :
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Definindo os limites da região em coordenadas polares: e . A integral fica: