Classifique as afirmações como verdadeira ( ) ou falsa ( ).
( ) O campo vetorial é conservativo.
( ) O campo vetorial pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV

Passo 1

Vamos lá! Você me passou um exercício que pede para classificar duas afirmações sobre campos vetoriais como verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o rotacional de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma propriedade importante de campos conservativos é que o rotacional do campo é zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar a primeira afirmação:
( ) O campo vetorial é conservativo.
Primeiro, calculamos o rotacional de :
Computando cada componente:
Portanto,
Como o rotacional não é zero ( ), o campo não é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda afirmação:
( ) O campo vetorial pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
Para um campo vetorial ser expressável como o rotacional de outro campo, uma condição necessária é que a divergência desse campo seja zero, ou seja, .
Calculando a divergência de :
Calculando cada termo:
Portanto,
Como a divergência não é zero ( ), o campo não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.

Resposta

A sequência correta da classificação é:
c. VF

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Escolna uma opção:
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Falso
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Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
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tais que e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
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Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.