Classifique as afirmações como verdadeira (
) ou falsa (
).
( ) O campo vetorial
é conservativo.
( ) O campo vetorial
pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV
( ) O campo vetorial
( ) O campo vetorial
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV
Passo 1
Vamos lá! Você me passou um exercício que pede para classificar duas afirmações sobre campos vetoriais como verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e o rotacional de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma propriedade importante de campos conservativos é que o rotacional do campo é zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira afirmação:
( ) O campo vetorial
é conservativo.
Primeiro, calculamos o rotacional de
:
Computando cada componente:
Portanto,
Como o rotacional não é zero (
), o campo
não é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda afirmação:
( ) O campo vetorial
pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
Para um campo vetorial ser expressável como o rotacional de outro campo, uma condição necessária é que a divergência desse campo seja zero, ou seja,
.
Calculando a divergência de
:
Calculando cada termo:
Portanto,
Como a divergência não é zero (
), o campo
não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
Resposta
A sequência correta da classificação é:
c. VF
Exercícios relacionados
Se
é uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
.
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso
Se
então
.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Calcule
onde é a fronteira de uma região
do plano. Em coordenadas polares a região
é descrita do seguinte modo:
tais que
e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
onde
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
A figura mostra a curva
com
.
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.