Se f é uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então nabla x (nabla f) = 0.
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma função que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. A questão quer saber se o rotacional do gradiente dessa função é igual a zero. Vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e rotacionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função . Ele é dado pelas derivadas parciais em cada direção:

Passo 3

Agora, o rotacional de um campo vetorial, representado por , mede a tendência dessas linhas de campo a “girar” ao redor de um ponto. Para um campo vetorial , o rotacional é:

Passo 4

A questão nos pergunta se . Vamos calcular isso usando as definições que vimos.
Calculando cada componente do rotacional do gradiente:
E similarmente para as outras componentes. Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, a ordem das derivadas não altera o resultado, ou seja, cada componente do rotacional será zero.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados