Se
é uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
.
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma função
que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. A questão quer saber se o rotacional do gradiente dessa função é igual a zero. Vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e rotacionais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função
. Ele é dado pelas derivadas parciais em cada direção:
Passo 3
Agora, o rotacional de um campo vetorial, representado por
, mede a tendência dessas linhas de campo a “girar” ao redor de um ponto. Para um campo vetorial
, o rotacional é:
Passo 4
A questão nos pergunta se
. Vamos calcular isso usando as definições que vimos.
Calculando cada componente do rotacional do gradiente:
E similarmente para as outras componentes. Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, a ordem das derivadas não altera o resultado, ou seja, cada componente do rotacional será zero.
Resposta
Verdadeiro.