Se é uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então .
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma função que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. A questão quer saber se o rotacional do gradiente dessa função é igual a zero. Vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e rotacionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função . Ele é dado pelas derivadas parciais em cada direção:

Passo 3

Agora, o rotacional de um campo vetorial, representado por , mede a tendência dessas linhas de campo a “girar” ao redor de um ponto. Para um campo vetorial , o rotacional é:

Passo 4

A questão nos pergunta se . Vamos calcular isso usando as definições que vimos.
Calculando cada componente do rotacional do gradiente:
E similarmente para as outras componentes. Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, a ordem das derivadas não altera o resultado, ou seja, cada componente do rotacional será zero.

Resposta

Verdadeiro.

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Se então .
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Sabendo que , você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Classifique as afirmações como verdadeira ( ) ou falsa ( ).
( ) O campo vetorial é conservativo.
( ) O campo vetorial pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV
Calcule

onde é a fronteira de uma região do plano. Em coordenadas polares a região é descrita do seguinte modo:
tais que e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.