Se
é uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
.
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso
Escolna uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma função
que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. A questão quer saber se o rotacional do gradiente dessa função é igual a zero. Vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e rotacionais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função
. Ele é dado pelas derivadas parciais em cada direção:
Passo 3
Agora, o rotacional de um campo vetorial, representado por
, mede a tendência dessas linhas de campo a “girar” ao redor de um ponto. Para um campo vetorial
, o rotacional é:
Passo 4
A questão nos pergunta se
. Vamos calcular isso usando as definições que vimos.
Calculando cada componente do rotacional do gradiente:
E similarmente para as outras componentes. Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, a ordem das derivadas não altera o resultado, ou seja, cada componente do rotacional será zero.
Resposta
Verdadeiro.
Exercícios relacionados
Se
então
.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Sabendo que
, você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Classifique as afirmações como verdadeira (
) ou falsa (
).
( ) O campo vetorial é conservativo.
( ) O campo vetorial pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV
( ) O campo vetorial
( ) O campo vetorial
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV
Calcule
onde é a fronteira de uma região
do plano. Em coordenadas polares a região
é descrita do seguinte modo:
tais que
e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
onde
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.