Um objeto de massa
que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante
tem vetor de posição dado por
. Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um objeto de massa
que se movimenta em uma trajetória circular com velocidade angular constante
. A posição do objeto é dada por . Nosso objetivo é determinar a força que atua sobre esse objeto e mostrar que ela aponta para a origem, ou seja, está na direção da reta que passa pela origem.
Aqui, vamos usar conceitos de cinemática vetorial e leis de Newton. Precisamos derivar a posição para encontrar a aceleração e, depois, aplicar a segunda lei de Newton (
) para encontrar a força.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial do objeto derivando a posição em relação ao tempo. A posição é dada por:
Derivando em relação ao tempo:
Isso nos dá a velocidade do objeto em qualquer instante
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração vetorial derivando a velocidade em relação ao tempo:
Podemos fatorar
:
Observamos que
.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton,
:
Simplificando:
Isso mostra que a força está proporcionalmente relacionada à posição, mas com sinal negativo.
Passo 5
A força encontrada é:
Perceba que , então podemos reescrever:
Isso significa que a força é diretamente proporcional à posição vetorial, mas com direção oposta. Portanto, a força sempre aponta para a origem, seguindo a reta que passa pela origem e pelo objeto.
Resposta
A força que age sobre o objeto é dada por:
Essa força aponta na direção da reta que passa pela origem, apontando para ela, o que confirma que a força é centrípeta.
Exercícios relacionados
A figura mostra a curva
com
.
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Calcule
onde é a fronteira de uma região
do plano. Em coordenadas polares a região
é descrita do seguinte modo:
tais que
e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
onde
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
Uma partícula se move de uma posição inicial
com velocidade inicial
. Sua aceleração é dada por
. Determine sua velocidade e posição para um instante
.
Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço é dada por
. Identificar a função vetorial que descreverá o movimento da partícula
.