Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor de posição dado por . Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um objeto de massa que se movimenta em uma trajetória circular com velocidade angular constante . A posição do objeto é dada por . Nosso objetivo é determinar a força que atua sobre esse objeto e mostrar que ela aponta para a origem, ou seja, está na direção da reta que passa pela origem.
Aqui, vamos usar conceitos de cinemática vetorial e leis de Newton. Precisamos derivar a posição para encontrar a aceleração e, depois, aplicar a segunda lei de Newton ( ) para encontrar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial do objeto derivando a posição em relação ao tempo. A posição é dada por:
Derivando em relação ao tempo:
Isso nos dá a velocidade do objeto em qualquer instante .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração vetorial derivando a velocidade em relação ao tempo:
Podemos fatorar :
Observamos que .

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton, :
Simplificando:
Isso mostra que a força está proporcionalmente relacionada à posição, mas com sinal negativo.

Passo 5

A força encontrada é:
Perceba que , então podemos reescrever:
Isso significa que a força é diretamente proporcional à posição vetorial, mas com direção oposta. Portanto, a força sempre aponta para a origem, seguindo a reta que passa pela origem e pelo objeto.

Resposta

A força que age sobre o objeto é dada por:
Essa força aponta na direção da reta que passa pela origem, apontando para ela, o que confirma que a força é centrípeta.

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A figura mostra a curva com .
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Calcule

onde é a fronteira de uma região do plano. Em coordenadas polares a região é descrita do seguinte modo:
tais que e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
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