A figura mostra a curva com .
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região interna à curva definida por e para . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de curvas paramétricas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada. A fórmula é:
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, substituímos , , e na fórmula da área:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Isso porque, ao expandir e simplificar os termos trigonométricos, muitos se cancelam e ficam os termos constantes e de cosseno de múltiplos de .

Passo 6

Agora, integramos:
Avaliar no intervalo de a :

Resposta

A área da região interna à curva é .

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Calcule

onde é a fronteira de uma região do plano. Em coordenadas polares a região é descrita do seguinte modo:
tais que e
Escolna uma opção:
a.
b.
c. 0
d. 1
e.
Classifique as afirmações como verdadeira ( ) ou falsa ( ).
( ) O campo vetorial é conservativo.
( ) O campo vetorial pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
A sequência correta da classificação é:
Escolna uma opção:
a. FF
O b. VV
c. VF
d. FV
Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor de posição dado por . Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando para esta.
Uma partícula se move de uma posição inicial com velocidade inicial . Sua aceleração é dada por . Determine sua velocidade e posição para um instante .