A figura mostra a curva
com
.
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região interna à curva definida por
e para
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de curvas paramétricas, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada. A fórmula é:
Nesse caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Isso porque, ao expandir e simplificar os termos trigonométricos, muitos se cancelam e ficam os termos constantes e de cosseno de múltiplos de
.
Passo 6
Agora, integramos:
Avaliar no intervalo de
a
:
Resposta
A área da região interna à curva é
.