A figura mostra a curva x(t) = 5 cos(t) - cos(5t), y(t) = 5 sen(t) - sen(5t) com 0 <= t <= 2 pi.
Qual o valor da área da região interna à curva?
Escolha uma opção:
a. 5 pi
b. 15 pi
c. 30 pi
d. 10 pi
e. 20 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região interna à curva definida por e para . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de curvas paramétricas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada. A fórmula é:
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, substituímos , , e na fórmula da área:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Isso porque, ao expandir e simplificar os termos trigonométricos, muitos se cancelam e ficam os termos constantes e de cosseno de múltiplos de .

Passo 6

Agora, integramos:
Avaliar no intervalo de a :

Resposta

A área da região interna à curva é .

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