Calcule
, ao longo da circunferência
, no sentido horário, sendo
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
ao longo da circunferência
no sentido horário, onde o campo vetorial é
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente a integral de linha e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha
representa o trabalho feito pelo campo vetorial
ao percorrer o caminho
. Como o caminho é uma curva fechada (a circunferência
), podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região limitada por
.
Passo 3
O Teorema de Green diz que:
onde
e
é a região delimitada por
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
(a circunferência unitária). Como a região é um círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares:
E os limites serão
de
a
e
de
a
.
Passo 7
Substituindo na integral dupla:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.