Calcule ointC f cdot d r, ao longo da circunferência x^2+y^2=1, no sentido horário, sendo f=(4 x^2-9 y, 9 x y+raizy^2+1).

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha ointC f cdot d r ao longo da circunferência x^2+y^2=1 no sentido horário, onde o campo vetorial é f = (4x^2 - 9y, 9xy + raizy^2+1). Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente a integral de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha ointC f cdot d r representa o trabalho feito pelo campo vetorial f ao percorrer o caminho C. Como o caminho é uma curva fechada (a circunferência x^2+y^2=1), podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região limitada por C.

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC f cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
onde f = (P, Q) e D é a região delimitada por C. No nosso caso, P = 4x^2 - 9y e Q = 9xy + raizy^2+1.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(9xy + raizy^2+1) = 9y
partial Ppartial y = partialpartial y(4x^2 - 9y) = -9

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 9y - (-9) = 9y + 9 = 9(y + 1)

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D (a circunferência unitária). Como a região é um círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares:
x = r cos theta y = r sin theta dx,dy = r,dr,dtheta
E os limites serão r de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.

Passo 7

Substituindo na integral dupla:
integral duplaD 9(y + 1) dx,dy = 9 integral0^2pi integral0^1 (r sin theta + 1) cdot r,dr,dtheta
= 9 integral0^2pi integral0^1 (r^2 sin theta + r) dr,dtheta

Passo 8

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^1 (r^2 sin theta + r) dr = [ r^33 sin theta + r^22 ]0^1 = 13 sin theta + 12

Passo 9

Agora, integramos em relação a theta:
9 integral0^2pi ( 13 sin theta + 12 ) dtheta = 9 ( 13 [ -cos theta ]0^2pi + 12 [ theta ]0^2pi )
= 9 ( 13 ( -cos 2pi + cos 0 ) + 12 (2pi - 0) )
= 9 ( 13 ( -1 + 1 ) + pi ) = 9 cdot pi = 9pi

Resposta

A integral de linha é igual a 9pi.

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