Calcule , ao longo da circunferência , no sentido horário, sendo .

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha ao longo da circunferência no sentido horário, onde o campo vetorial é . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente a integral de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de linha representa o trabalho feito pelo campo vetorial ao percorrer o caminho . Como o caminho é uma curva fechada (a circunferência ), podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região limitada por .

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
onde e é a região delimitada por . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região (a circunferência unitária). Como a região é um círculo de raio 1, é mais fácil usar coordenadas polares:
E os limites serão de a e de a .

Passo 7

Substituindo na integral dupla:

Passo 8

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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