Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que você precisa fazer. Temos a equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral para essa equação usando a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais indefinidas. Para isso, vamos precisar entender como integrar a função que está no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa a derivada de em relação a , ou seja, a taxa de variação de quando muda. Estamos procurando a função cuja derivada é igual a .

Passo 3

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação em relação a . A integral da derivada de nos retorna a própria função , mais uma constante de integração :

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de a expressão dentro da raiz:
Então, a derivada de em relação a é:
Isso implica que:
Ou seja:
Mas percebemos que , então podemos substituir:

Passo 5

Substituindo e na integral, temos:
Essa integral ainda é complicada e não possui uma solução em termos de funções elementares básicas. Portanto, vamos deixar a integral nessa forma.

Passo 6

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Lembrando que , podemos expressar a solução final em termos de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em . Além disso, para algum número real , determine uma solução em séries de potências da forma .
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos e .
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Calcule , ao longo da circunferência , no sentido horário, sendo .