Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que você precisa fazer. Temos a equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral para essa equação usando a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais indefinidas. Para isso, vamos precisar entender como integrar a função que está no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa a derivada de
em relação a
, ou seja, a taxa de variação de
quando
muda. Estamos procurando a função
cuja derivada é igual a
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
. A integral da derivada de
nos retorna a própria função
, mais uma constante de integração
:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de
a expressão dentro da raiz:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso implica que:
Ou seja:
Mas percebemos que
, então podemos substituir:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Essa integral ainda é complicada e não possui uma solução em termos de funções elementares básicas. Portanto, vamos deixar a integral nessa forma.
Passo 6
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Lembrando que
, podemos expressar a solução final em termos de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Mostre que cada uma das seguintes equações diferencias admite um ponto singular regular em
. Além disso, para algum número real
, determine uma solução em séries de potências da forma
.
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
. Discutir os casos
e
.
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Calcule
, ao longo da circunferência
, no sentido horário, sendo
.